Question

【題目】以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓分別交x，y軸的正半軸于點(diǎn)A，B．

（1）如圖一，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A處出發(fā)，沿x軸向右勻速運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B處出發(fā)，沿圓周按順時(shí)針方向勻速運(yùn)動(dòng)．若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度比點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度慢，經(jīng)過1秒后點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)（2，0），此時(shí)PQ恰好是⊙O的切線，連接OQ．求∠QOP的大��；
（2）若點(diǎn)Q按照（1）中的方向和速度繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P停留在點(diǎn)（2，0）處不動(dòng)，求點(diǎn)Q再經(jīng)過5秒后直線PQ被⊙O截得的弦長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖一，連接AQ．

由題意可知：OQ=OA=1．

∵OP=2，

∴A為OP的中點(diǎn)．

∵PQ與⊙O相切于點(diǎn)Q，

∴△OQP為直角三角形．

∴ ．

即△OAQ為等邊三角形．

∴∠QOP=60°．

（2）解：由（1）可知點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)1秒時(shí)經(jīng)過的弧長(zhǎng)所對(duì)的圓心角為30°，若Q按照（1）中的方向和速度繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，那么再過5秒，則Q點(diǎn)落在⊙O與y軸負(fù)半軸的交點(diǎn)處（如圖二）．設(shè)直線PQ與⊙O的另外一個(gè)交點(diǎn)為D，

過O作OC⊥QD于點(diǎn)C，則C為QD的中點(diǎn)．

∵∠QOP=90°，OQ=1，OP=2，

∴QP= ．

∵ ，

∴OC= = ．

∵OC⊥QD，OQ=1，OC= ，

∴QC= = ．

∴QD= ．

【解析】（1）根據(jù)切線性質(zhì)定理，以及OQ與OP之間的關(guān)系，可得出∠QOP的度數(shù)；（2）根據(jù)垂徑定理及勾股定理解決本題即可.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解勾股定理的概念的相關(guān)知識(shí)，掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2，以及對(duì)切線的性質(zhì)定理的理解，了解切線的性質(zhì)：1、經(jīng)過切點(diǎn)垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．