Question

已知一次函數(shù)y=

3

4

x+m的圖象分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，且與反比例函數(shù)y=

24

x

的圖象在第一象限交于點(diǎn)C（4，n），CD⊥x軸于D．
（1）求m、n的值，并在給定的直角坐標(biāo)系中作出一次函數(shù)的圖象；
（2）如果點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以相同的速度沿線段AD、CA向D、A運(yùn)動(dòng)，設(shè)AP=k．
①k為何值時(shí)，以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似？
②k為何值時(shí)，△APQ的面積取得最大值并求出這個(gè)最大值．

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)反比例函數(shù)的解析式求得n的值，再根據(jù)點(diǎn)C的坐標(biāo)求得m的值．根據(jù)直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)確畫出函數(shù)的圖象；
（2）①已知△AOB是直角三角形，要使以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似，則∠APQ=90°或∠AQP=90°．根據(jù)題意表示對(duì)應(yīng)的兩條邊，再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等列方程求解；②首先根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等表示出AP邊上的高，再進(jìn)一步表示三角形的面積，根據(jù)函數(shù)解析式分析其最值．

解答：解：（1）把（4，n）代入反比例函數(shù)y=

24

x

，得：n=6
把（4，6）代入一次函數(shù)y=

3

4

x+m，得：m=3
∴y=

3

4

x+3．
令x=0，則y=3；令y=0，則x=-4．（如圖）

（2）①根據(jù)題意，得AP=CQ=k，根據(jù)勾股定理，得AC=10，則AQ=10-k
當(dāng)∠APQ=90°時(shí)，則有

AP

OA

=

AQ

AB

，即

k

4

=

10-k

5

，k=

40

9

；
當(dāng)∠AQP=90°時(shí)，則有

AP

AB

=

AQ

OA

，即

k

5

=

10-k

4

，k=

50

9

．
②作QM⊥x軸于M，則△AQM∽△ACD，
則有

QM

CD

=

AQ

AC

，即

QM

6

=

10-k

10

，QM=

30-3k

5

．
則S_△APQ=

1

2

×

30-3k

5

×k=-

3

10

k²+3k
所以當(dāng)k=5時(shí)，則該三角形的面積的最大值是7.5．

點(diǎn)評(píng)：能夠根據(jù)函數(shù)的解析式求得點(diǎn)的坐標(biāo)，能夠根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求得函數(shù)的解析式；熟練運(yùn)用相似三角形的判定和性質(zhì)．