Question

學校要圍一個矩形花圃，花圃的一邊利用足夠長的墻，另三邊用總長為36米的籬笆恰好圍成（如圖所示）．設矩形的一邊AB的長為x米（要求AB＜AD），矩形ABCD 的面積為S平方米．
（1）求S與x之間的函數關系式，并直接寫出自變量x的取值范圍；
（2）要想使花圃的面積最大，AB邊的長應為多少米？

Answer 1

分析：（1）因為AB=x米，所以BC為（36-2x）米，由長方形的面積列式即可；
（2）將（1）中的二次函數進行配方即可化為頂點式．y=a（x-h）²+k，因為a=-2＜0拋物線開口向下，函數有最大值，即當x=h時，取得最大值．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，AB的長為x米，
∴CD=AB=x（米）．
∵矩形除AD邊外的三邊總長為36米，
∴BC=36-2x（米）．…（1分）
∴S=x（36-2x）=-2x²+36x． …（3分）
自變量x的取值范圍是0＜x＜12． …（4分）
（說明：由0＜x＜36-2x可得0＜x＜12．）

（2）∵S=-2x²+36x=-2（x-9）²+162，且x=9在0＜x＜12的范圍內，
∴當x=9時，S取最大值．
即AB邊的長為9米時，花圃的面積最大．…（5分）

點評：本題考查了二次函數的應用中求最值的問題．當a＞0時函數有最小值；當a＜0時函數有最大值．求最大（小）值有三種方法，第一種可由圖象直接得出，第二種是配方法，第三種是公式法，常用的是后兩種方法，當二次項系數a的絕對值是較小的整數時，用配方法較好，如y=-x²-2x+5，y=3x²-6x+1等用配方法求解比用公式法簡便．