Question

北方某水果商店從南方購進一種水果，其進貨成本是每噸0.4萬元，根據市場調查這種水果在北方市場上的銷售量y（噸）與每噸的銷售價x（萬元）之間的函數關系如下圖所示：
（1）求出銷售量y與每噸銷售價x之間的函數關系式；
（2）如果銷售利潤為w（萬元），請寫出w與x之間的函數關系式；
（3）當每噸銷售價為多少萬元時，銷售利潤最大？最大利潤是多少？

Answer 1

分析：（1）由圖可知，銷售量y與每噸銷售價x之間成一次函數，并經過點（0.6，2）和點（1，1.6），使用待定系數法列出方程組求解．
（2）由（1）知銷售量y=-x+2.6，而每噸的利潤為x-0.4，所以w=y（x-0.4）．
（3）解出（2）中的函數是一個二次函數，對于二次函數取最值可使用配方法．

解答：解：（1）設銷售量y與每噸銷售價x的函數關系式為：y=kx+b（k≠0）
由題意得

0.6k+b=2 k+b=1.6

解得

k=-1 b=2.6

（3分）
y與x的函數關系式為y=-x+2.6（4分）

（2）w=（-x+2.6）（x-0.4）=-x²+3x-1.04（8分）

（3）解法①：w=-x²+3x-1.04=-（x-1.5）²+1.21（10分）
當x=1.5時，w最大=1.21
∴每噸銷售價為1.5萬元時，銷售利潤最大，最大利潤是1.21萬元（12分）
解法②：當x=-

b

2a

=-

3

2×(-1)

=1.5時，w_最大=

4ac-b2

4a

=

4×(-1)×(-1.04)-9

4×(-1)

=1.21
∴當每噸銷售價為1.5萬元時，銷售利潤最大，最大利潤是1.21萬元．（12分）

點評：本題意在考查學生利用待定系數法求解一次函數關系式，并利用關系式求值的運算技能和從坐標系中提取信息的能力，是道綜合性較強的代數應用題，有一定的能力要求．