Question

【題目】我們定義兩個(gè)不相交的函數(shù)圖象在豎直方向上的最短距離為這兩個(gè)函數(shù)的“和諧值”．

(1)求拋物線y=x2﹣2x+2與x軸的“和諧值”；

(2)求拋物線y=x2﹣2x+2與直線y=x﹣1的“和諧值”；

(3)求拋物線y=x2﹣2x+2在拋物線y=x2+c的上方，且兩條拋物線的“和諧值”為2，求c的值．

Answer 1

【答案】(1)1；(2)；(3)c=﹣2．

【解析】

（1）將函數(shù)配成頂點(diǎn)式，根據(jù)其開(kāi)口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,1）從而得出其頂點(diǎn)是其最低點(diǎn)，故其頂點(diǎn)到x軸的距離就是其和諧值，根據(jù)點(diǎn)到x軸的距離等于其縱坐標(biāo)的絕對(duì)值即可得出答案；

（2）如圖，P點(diǎn)為拋物線y=x2﹣2x+2任意一點(diǎn)，作PQ∥y軸交直線y=x﹣1于Q，根據(jù)拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，平行于y軸的直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)及直線上的坐標(biāo)特點(diǎn)，設(shè)P(t，t2﹣2t+2)，則Q(t，t﹣1)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式建立出關(guān)于PQ的長(zhǎng)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案；

（3）M點(diǎn)為拋物線y=x2﹣2x+2任意一點(diǎn)，點(diǎn)N為拋物線y=x2+c上的點(diǎn)，且MN的長(zhǎng)即是兩條拋物線的“和諧值”.根據(jù)拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，平行于y軸的直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，設(shè)M(t，t2﹣2t+2)，則N ( t , t2+c )，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式建立出關(guān)于MN的長(zhǎng)的函數(shù)關(guān)系式，再配成頂點(diǎn)式，根據(jù)當(dāng)t=2時(shí)，MN有最小值，最小值為﹣c，根據(jù)和諧值的定義即可建立方程，從而得出c的值.

(1)∵y=(x﹣1)2+1，

∴拋物線上的點(diǎn)到x軸的最短距離為1，

∴拋物線y=x2﹣2x+2與x軸的“和諧值”為1

(2)如圖，P點(diǎn)為拋物線y=x2﹣2x+2任意一點(diǎn)，作PQ∥y軸交直線y=x﹣1于Q，

設(shè)P(t，t2﹣2t+2)，則Q(t，t﹣1)，

∴PQ=t2﹣2t+2-t+1=t2﹣3t+3=

當(dāng) 時(shí)，PQ有最小值，最小值為

∴拋物線y=x2﹣2x+3與直線y=x﹣1的“和諧值”為

(3)M點(diǎn)為拋物線y=x2﹣2x+2任意一點(diǎn)，點(diǎn)N為拋物線y= 上的一點(diǎn)，MN的長(zhǎng)即是兩條拋物線的“和諧值”.

設(shè)M(t，t2﹣2t+2)，則N

∴MN=t2﹣2t+2-

當(dāng)t=2時(shí)，MN有最小值，最小值為﹣c

∴拋物線y=x2﹣2x+2與拋物線 的“和諧值”為﹣c

∴﹣c=2，

∴c=﹣2．