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        1. 精英家教網 > 初中數學 > 題目詳情
          (2012•鐵嶺)已知:在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,AB=AD=25,BC=32.連接BD,AE⊥BD垂足為E.
          (1)求證:△ABE∽△DBC;
          (2)求線段AE的長.
          分析:(1)由等腰三角形的性質可知∠ABD=∠ADB,由AD∥BC可知,∠ADB=∠DBC,由此可得∠ABD=∠DBC,又∵∠AEB=∠C=90°,利用“AA”可證△ABE∽△DBC;
          (2)由等腰三角形的性質可知,BD=2BE,根據△ABE∽△DBC,利用相似比求BE,在Rt△ABE中,利用勾股定理求AE.
          解答:(1)證明:∵AB=AD=25,
          ∴∠ABD=∠ADB,
          ∵AD∥BC,
          ∴∠ADB=∠DBC,
          ∴∠ABD=∠DBC,
          ∵AE⊥BD,
          ∴∠AEB=∠C=90°,
          ∴△ABE∽△DBC;

          (2)解:∵AB=AD,又AE⊥BD,
          ∴BE=DE,
          ∴BD=2BE,
          由△ABE∽△DBC,
          AB
          BD
          =
          BE
          BC
          ,
          ∵AB=AD=25,BC=32,
          25
          2BE
          =
          BE
          32

          ∴BE=20,
          ∴AE=
          AB2-BE2
          =
          252-202
          =15
          點評:本題考查了相似三角形的判定與性質.關鍵是要懂得找相似三角形,利用相似三角形的性質及勾股定理解題.
          練習冊系列答案
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          (1)將△ABC繞點A逆時針旋轉角θ(0°<θ<180°),得到△ADE,BD和EC所在直線相交于點O.       
          ①如圖a,當θ=20°時,△ABD與△ACE是否全等?
          (填“是”或“否”),∠BOE=
          120
          120
          度;
          ②當△ABC旋轉到如圖b所在位置時,求∠BOE的度數;
          (2)如圖c,在AB和AC上分別截取點B′和C′,使AB=
          3
          AB′,AC=
          3
          AC′,連接B′C′,將△AB′C′繞點A逆時針旋轉角(0°<θ<180°),得到△ADE,BD和EC所在直線相交于點O,請利用圖c探索∠BOE的度數,直接寫出結果,不必說明理由.

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