Question

甲、乙兩名同學(xué)在操場做游戲，他們先在地上畫出邊長為2m和3m的正方形（如圖1，小正方形含在大正方形內(nèi)），然后蒙上眼睛在一定距離外向方格內(nèi)擲小石子（投到各點的可能性相等），擲中陰影部分甲同學(xué)獲勝，否則乙同學(xué)獲勝（未擲入方格內(nèi)不算）．
（1）如果你是裁判，你認為這個游戲公平嗎為什么
（2）游戲結(jié)束后，甲同學(xué)對乙同學(xué)說，我可以用這種方法來估算不規(guī)則圖形（如圖2）的面積，具體方法如下：
①先將不規(guī)則的圖形放在一個邊長為a的正方形中（如圖3），
②向正方形中隨意擲點，擲在正方形外不算，
③記錄并統(tǒng)計點數(shù)，當(dāng)所擲點數(shù)較大時，設(shè)擲入正方形內(nèi)m次，其中n次擲到不規(guī)則圖形中．于是我就可以估計出這個不規(guī)則圖形的面積了．
你認為甲同學(xué)的這種方法正確嗎如果正確，請你幫助甲同學(xué)計算出不規(guī)則圖形的面積，并說明他根據(jù)什么規(guī)律如果不正確，請說明理由．

Answer 1

分析：求出陰影部分的面積占總面積的比例即可解答．

解答：解：（1）不公平．（1分）
∵P（陰）=

9-4

9

=

5

9

，
即甲同學(xué)獲勝的概率為

5

9

，乙同學(xué)獲勝概率為

4

9

．
∵

5

9

＞

4

9

，∴游戲?qū)﹄p方不公平．（6分）

（2）方法正確．（7分）
設(shè)不規(guī)則圖形的面積為S，
擲入不規(guī)則圖形內(nèi)的頻率=

n

m

≈P（擲入不規(guī)則圖形內(nèi)）=

S

a2

，
所以不規(guī)則的圖形面積S≈

a2n

m

．（9分）
當(dāng)試驗次數(shù)較大時，試驗頻率穩(wěn)定于理論概率（或頻率與概率的關(guān)系）．（10分）

點評：本題考查學(xué)生對簡單幾何概型的掌握情況，既避免了單純依靠公式機械計算的做法，又體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識在現(xiàn)實生活、甚至娛樂中的運用，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的基礎(chǔ)性．用到的知識點為：概率=相應(yīng)的面積與總面積之比．