Question

（2012•珠海）如圖，把正方形ABCD繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°得到正方形A′B′CD′（此時(shí)，點(diǎn)B′落在對角線AC上，點(diǎn)A′落在CD的延長線上），A′B′交AD于點(diǎn)E，連接AA′、CE．
求證：（1）△ADA′≌△CDE；
（2）直線CE是線段AA′的垂直平分線．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AD=CD，∠ADC=90°，∠EA′D=45°，則∠A′DE=90°，再計(jì)算出∠A′ED=45°，根據(jù)等角對等邊可得A′D=ED，即可利用SAS證明△AA′D≌△CED；
（2）首先由AC=A′C，可得點(diǎn)C在AA′的垂直平分線上；再證明△AEB′≌△A′ED，可得AE=A′E，進(jìn)而得到點(diǎn)E也在AA′的垂直平分線上，再根據(jù)兩點(diǎn)確定一條直線可得直線CE是線段AA′的垂直平分線．

解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADC=90°，
∴∠A′DE=90°，
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的方法可得：∠EA′D=45°，
∴∠A′ED=45°，
∴A′D=DE，
在△AA′D和△CED中

AD=CD ∠ADA′=∠EDC A′D=ED

，
∴△AA′D≌△CED（SAS）；

（2）∵根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)以及（1）可得：AC=A′C，∠ACE=∠A′CE，
∴點(diǎn)C在AA′的垂直平分線上，
∵AC是正方形ABCD的對角線，
∴∠CAE=45°，
∵AC=A′C，CD=CB′，
∴AB′=A′D，
在△AEB′和△A′ED中

∠EAB′=∠EA′D ∠AEB′=∠A′ED AB′=A′D

，
∴△AEB′≌△A′ED（AAS），
∴AE=A′E，
∴點(diǎn)E也在AA′的垂直平分線上，
∴直線CE是線段AA′的垂直平分線．

點(diǎn)評：此題主要考查了正方形的性質(zhì)，以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟練掌握正方形的性質(zhì)：正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角；正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角；找準(zhǔn)旋轉(zhuǎn)后相等的線段．