Question

如圖，直線y=kx+2k（k≠0）與x軸交于點(diǎn)B，與雙曲線y=（m+5）x^2m+1交于點(diǎn)A、C，其中點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)C在第三象限．
（1）求雙曲線的解析式；
（2）求B點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）若S_△AOB=2，求A點(diǎn)的坐標(biāo)；
（4）在（3）的條件下，在x軸上是否存在點(diǎn)P，使△AOP是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)雙曲線函數(shù)的定義可以確定m的值；
（2）利用y=kx+2k當(dāng)y=0時(shí)，x=2就知道B的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)（1）知道OB=2，而S_△AOB=2，利用它們可以求出A的坐標(biāo)；
（4）存在點(diǎn)P，使△AOP是等腰三角形．只是確定P坐標(biāo)時(shí)，題目沒(méi)有說(shuō)明誰(shuí)是腰，是底，所以要分類討論，不要漏解．

解答：解：（1）∵y=（m+5）x^2m+1是雙曲線
∴

2m+1=-1 m+5≠0

．
∴m=-1（2分）
∴y=

4

x

（3分）

（2）∵直線y=kx+2k（k≠0）與x軸交于點(diǎn)B
∴當(dāng)y=0時(shí)，0=kx+2k
∴x=-2（5分）
∴B（-2，0）（6分）

（3）∵B（-2，0）
∴OB=2（7分）
過(guò)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D
∵點(diǎn)A在雙曲線y=

4

x

上，
∴設(shè)A（a，b）
∴ab=4，AD=b（8分）
又∵S_△AOB=

1

2

OB•AD=

1

2

×2b=2
∴b=2（9分）
∴a=2，
∴A（2，2）（10分）

（4）P₁（2，0），P₂（4，0），P₃（-2

2

，0），P₄（2

2

，0）．
（寫對(duì)一個(gè)得一分）（14分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了反比例函數(shù)的定義確定函數(shù)的解析式，也考查了利用函數(shù)的性質(zhì)確定點(diǎn)的坐標(biāo)，最后考查了根據(jù)圖形變換求點(diǎn)的坐標(biāo)．