Question

已知：如圖（1），直角坐標(biāo)系中，直線y=x+3交x軸于A，交y軸于B，在x軸正半軸上取一點(diǎn)C，使△ABC的面積為6．

（1）求∠BAC的度數(shù)和點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）求△ABC的外心O′的坐標(biāo)；
（3）如圖（2），以O(shè)′為圓心O′A為半徑作⊙O′，另有點(diǎn)P(-

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-1，0)，直線PT切⊙O′于T．當(dāng)點(diǎn)O′在平行于y軸的直線上運(yùn)動(dòng)（⊙O′的大小變化）時(shí)，PT的長度是否發(fā)生變化？若變化，求其變化范圍；若不變化，求出PT的長度．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知，直角坐標(biāo)系中，直線y=x+3交x軸于A，交y軸于B，求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)．首先確定△AOB是直角三角形，進(jìn)而根據(jù)AO、BO的長求出∠BAC的度數(shù)；再根據(jù)三角形的面積公式，求出AC的長度，進(jìn)而求出C點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）根據(jù)等腰直角三角形斜邊上的高、垂直平分線的特殊關(guān)系．求出AB垂直平分線的解析式，再求出AC垂直平分線的解析式．根據(jù)這兩個(gè)解析式求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，即△ABC的外心O′的坐標(biāo)．
（3）根據(jù)（2）確定出O′運(yùn)行的軌跡，
連接PO′，TO′，AO′，設(shè)直線x=-1與x軸交點(diǎn)為E．
構(gòu)造Rt△TPO′、Rt△AO′E、Rt△PO′E，根據(jù)勾股定理及圓O′的直徑，得PT²=O′P²-O′A²，O′A²=O′E²+AE²，PE²=O′P²-O′E²．進(jìn)而得出PT²=O′P²-O′E²-AE²=PE²-AE²．
根據(jù)點(diǎn)E在直線x=-1時(shí)，且在x軸上求出E點(diǎn)坐標(biāo)
進(jìn)而求出PE，AE．
最終求出PT的長度．

解答：解：（1）由

y=x+3 y=0

，得A（-3，0），
由

y=x+3 x=0

，得B（0，3），
∴OA=OB=3．
∵∠AOB=90°，
∴∠BAC=45°．
∵△ABC的面積為6，
∴

1

2

×AC×OB=6，
∴AC=4，∴OC=AC-OA=1，
∵點(diǎn)C在x軸正半軸上，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（1，0）．

（2）由（1）可知：△ABO是等腰直角三角形，
∴線段AB的垂直平分線是直線y=-x，
∵線段AC的垂直平分線是直線x=-1，點(diǎn)O是線段AB、AC垂直平分線的交點(diǎn)，
∴由

y=-x x=-1

，得點(diǎn)O′的坐標(biāo)為（-1，1）．

（3）PT的長度不會(huì)發(fā)生變化．
解：由（2）可知點(diǎn)O′在平行于y軸的直線上運(yùn)動(dòng)且經(jīng)過點(diǎn)（-1，1），
即點(diǎn)O′在直線x=-1上運(yùn)動(dòng)．
如圖，連接PO′，TO′，AO′，設(shè)直線x=-1與x軸交點(diǎn)為E．
∵PT切⊙O′于T，
∴∠PTO′=90°，
由勾股定理，得PT²=O′P²-O′T²，
∵O′A=O′T，∴PT²=O′P²-O′A²．
在Rt△AO′E中，∠O′EA=90°，
∴O′A²=O′E²+AE²．
在Rt△PO′E中，∠O′EP=90°，
∴PE²=O′P²-O′E²，
∴PT²=O′P²-O′E²-AE²=PE²-AE²．
∵點(diǎn)E在直線x=-1時(shí)，且在x軸上，
∴E（-1，0）．
∴PE=

13

，AE=2，
∴PT=

PE2-AE2

=

( 13 )2-22

=

13-4

=3．

點(diǎn)評(píng)：此類題目是函數(shù)、圓、直角三角形知識(shí)的綜合運(yùn)用．難點(diǎn)在第（3）題，解決的根據(jù)是多次運(yùn)用勾股定理，建立起線段間的關(guān)系．