Question

如圖，BC是⊙O的直徑，AB是⊙O的切線，AB=BC，P是AB上的一個動點(diǎn)（不運(yùn)動至點(diǎn)B、A），過點(diǎn)P引⊙O的另一條切線PD切⊙O于D，CQ⊥BC交PD的延長線于Q，連接AC與PQ交于點(diǎn)E（如圖1）．
（1）若點(diǎn)P運(yùn)動到某一位置時，點(diǎn)D與點(diǎn)E重合（如圖2），試指出并說明此時PQ與BC的位置關(guān)系．
（2）連接OP、OQ（如圖3），求證：不論P(yáng)運(yùn)動到何處，都有OP⊥OQ．
（3）若AE：EC=1：2，AB=2，請你確定點(diǎn)P的位置．

Answer 1

分析：（1）連接OD，BD，由AB是⊙O的切線，AB=BC，根據(jù)切線的性質(zhì)與等腰三角形的性質(zhì)，即可得∠ABC=90°，∠ACB=45°，又由PD切⊙O于D點(diǎn)，易證得∠ADP=∠ACB，根據(jù)同位角相等，兩直線平行，即可得PQ∥BC；
（2）連接OD，可證Rt△PBO≌Rt△PDO，Rt△QDO≌Rt△QCO，即可得∠POB=∠POD，∠DOQ=∠COQ，則可證得OP⊥OQ；
（3）易證得AB∥CQ，則可得△APE∽△EQC，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，可得

AE

EC

=

AP

CQ

，設(shè)AP=x，則CQ=2x，可證得△PBO∽△OCQ，可得

PB

OB

=

OC

CQ

，繼而可求得答案．

解答：解：（1）PQ∥BC，
理由是：連接OD，BD，
∵AB是⊙O的切線，AB=BC，
∴∠ABC=90°，∠ACB=45°，
又∵PD切⊙O于D點(diǎn)，
∴∠PDO=90°，
在Rt△BDC中，∠DBC=∠ACB=45°，
又∵∠ADB=∠ADP+∠BDP=∠BDO+∠PDB=∠PDO，
∴∠ADP=∠BDO=45°，
∴∠ADP=∠ACB，
∴PQ∥BC；      


（2）連接OD，
∵AB是⊙O的切線，切線PD切⊙O于D，
∴∠B=∠PDO=90°，
∵OB=OD，PO=PO，
∴Rt△PBO≌Rt△PDO（HL），
同理：Rt△QDO≌Rt△QCO，
∴∠POB=∠POD，∠DOQ=∠COQ，
∴∠POD+∠QOD=90°，
∴OP⊥OQ；

（3）∵PB⊥BC，CQ⊥BC，
∴AB∥CQ，
∴△APE∽△QCE，
∴

AE

EC

=

AP

CQ

，
設(shè)AP=x，則CQ=2x，
∵PO⊥OQ，
∴∠POB+∠OPB=∠POB+∠COQ=90°，
∴∠BPO=∠COQ，
∵∠B=∠C=90°，
∴△PBO∽△OCQ，
∴

PB

OB

=

OC

CQ

，
∴

2-X

1

=

1

2X

，
解得：x=

2± 2

2

，
∴當(dāng)P點(diǎn)離A點(diǎn)

2± 2

2

處時滿足題目條件．

點(diǎn)評：此題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形與相似三角形的判定與性質(zhì)等知識．此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．