Question

（2012•蘿崗區(qū)一模）在矩形AOBC中，OB=6，OA=4．分別以O(shè)B，OA所在直線為x軸和y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．F是邊BC上的一個動點（不與B，C重合），過F點的反比例函數(shù)y=

k

x

(k＞0)的圖象與AC邊交于點E．
（1）設(shè)點E，F(xiàn)的坐標(biāo)分別為：E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），△AOE與△FOB的面積分別為S₁，S₂，求證：S₁=S₂；
（2）若y₂=1，求△OEF的面積；
（3）當(dāng)點F在BC上移動時，△OEF與△ECF的面積差記為S，求當(dāng)k為何值時，S有最大值，最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）分別用點E，F(xiàn)的坐標(biāo)表示出△AOE與△FOB的面積，再利用反比例函數(shù)的性質(zhì)xy=k，再進(jìn)行比較即可；
（2）根據(jù)題意可得E，F(xiàn)兩點坐標(biāo)分別為E（

k

4

，4），F(xiàn)（6，

k

6

），再利用y₂=1，得出E，F(xiàn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出△OEF的面積；
（3）應(yīng)分別用矩形面積和能用圖中的點表示出的三角形的面積表示出所求的面積，利用二次函數(shù)求出最值即可．

解答：（1）證明：設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），△AOE與△FOB的面積分別為S₁，S₂，
由題意得y₁=

k

x1

，y₂=

k

x2

，
∴S₁=

1

2

x₁y₁=

1

2

k，S₂=

1

2

x₂y₂=

1

2

k，
∴S₁=S₂；

（2）解：由題意知E，F(xiàn)兩點坐標(biāo)分別為E（

k

4

，4），F(xiàn)（6，

k

6

），
∵y₂=1，∴

k

6

=1，
∴k=6，
∴E點坐標(biāo)為：（

3

2

，4），F(xiàn)點坐標(biāo)為：（6，1），
∴EC=6-

3

2

=

9

2

，F(xiàn)C=4-1=3，
∴S_△EOF=S_矩形AOBC-S_△AOE-S_△BOF-S_△ECF，
=4×6-

1

2

×

3

2

×4-

1

2

×6×1-

1

2

×

9

2

×3，
=

45

4

；

（3）解：∵E，F(xiàn)兩點坐標(biāo)分別為E（

k

4

，4），F(xiàn)（6，

k

6

），
∴S_△ECF=

1

2

EC•CF=

1

2

（6-

k

4

）（4-

k

6

），
∴S_△EOF=S_矩形AOBC-S_△AOE-S_△BOF-S_△ECF，
=24-

1

2

k-

1

2

k-S_△ECF，
=24-k-S_△ECF，
∴S=S_△OEF-S_△ECF=24-k-2S_△ECF=24-k-（24-2k+

1

24

k²），
=-

1

24

k²+k，
=-

1

24

（k-12）²+6，
當(dāng)k=12時，S有最大值．
S_最大值=6．

點評：此題主要考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)、圖形的面積計算、二次函數(shù)最值等知識，求坐標(biāo)系內(nèi)一般三角形的面積，通常整理為矩形面積減去若干直角三角形的面積的形式求出是解題關(guān)鍵．