Question

已知拋物線y=a（x-m）²+n與y軸交于點A，它的頂點為點B，點A、B關于原點O的對稱點分別為C、D．若A、B、C、D中任何三點都不在一直線上，則稱四邊形ABCD為拋物線的伴隨四邊形，直線AB為拋物線的伴隨直線．
（1）如圖1，求拋物線y=（x-2）²+1的伴隨直線的解析式．
（2）如圖2，若拋物線y=a（x-m）²+n（m＞0）的伴隨直線是y=x-3，伴隨四邊形的面積為12，求此拋物線的解析式．
（3）如圖3，若拋物線y=a（x-m）²+n的伴隨直線是y=-2x+b（b＞0），且伴隨四邊形ABCD是矩形．
①用含b的代數(shù)式表示m、n的值；
②在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使得△PBD是一個等腰三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標（用含b的代數(shù)式表示）；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用拋物線y=（x-2）²+1的與y軸交于點A（0，5），它的頂點為點B（2，1），求出直線解析式即可；
（2）首先得出點A的坐標為（0，-3），以及點C的坐標為（0，3），進而求出BE=2，得出頂點B的坐標求出解析式即可；
（3）①由已知可得A坐標為（0，b），C點坐標為（0，-b），以及n=-2m+b，即點B點的坐標為（m，-2m+b），利用勾股定理求出；
②利用①中B點坐標，以及BD的長度即可得出P點的坐標．

解答：解：（1）由拋物線y=a（x-m）²+n與y軸交于點A，它的頂點為點B，
∴拋物線y=（x-2）²+1的與y軸交于點A（0，5），它的頂點為點B（2，1），
設所求直線解析式為y=kx+b，
∴

1=2k+b 5=b

，
解得：

k=-2 b=5

，
∴所求直線解析式為y=-2x+5；

（2）如圖，作BE⊥AC于點E，由題意得四邊形ABCD是平行四邊形，點A的坐標為（0，-3），
點C的坐標為（0，3），
可得：AC=6，
∵平行四邊形ABCD的面積為12，
∴S_△ABC=6即S_△ABC=

1

2

AC•BE=6，
∴BE=2，
∵m＞0，即頂點B在y軸的右側(cè)，且在直線y=x-3上，
∴頂點B的坐標為（2，-1），
又拋物線經(jīng)過點A（0，-3），
∴a=-

1

2

，
∴y=-

1

2

（x-2）²-1；

（3）①如圖，作BF⊥x軸于點F，
由已知可得A坐標為（0，b），C點坐標為（0，-b），
∵頂點B（m，n）在直線y=-2x+b（b＞0）上，
∴n=-2m+b，即點B點的坐標為（m，-2m+b），
在矩形ABCD中，CO=BO．
∴b=

FO 2+FB2

，
∴b²=m²+4m²-4mb+b²，
∴m=

4

5

b，
n=-2×

4

5

b+b=-

3

5

b，

②∵B點坐標為（m，n），即（

4

5

b，-

3

5

b），
∴BO=

( 4 5 b) 2+(- 3 5 b) 2

=b，
∴BD=2b，
當BD=BP，
∴PF=2b-

3

5

b=

7

5

b，
∴P點的坐標為（

4

5

b，

7

5

b）；
如圖3，當DP=PB時，
過點D作DE⊥PB，于點E，
∵B點坐標為（

4

5

b，-

3

5

b），
∴D點坐標為（-

4

5

b，

3

5

b），
∴DE=

8

5

b，BE=

6

5

b，設PE=x，
∴DP=PB=

6

5

b+x，
∴DE²+PE²=DP²，
∴(

8

5

b)2+x²=（

6

5

b+x）²，
解得：x=

7

15

b，
∴PF=PE+EF=

7

15

b+

3

5

b=

16

15

b，
∴此時P點坐標為：（

4

5

b，

16

15

b）；
同理P可以為（

4

5

b，-

13

5

b）；（

4

5

b，

9

5

b），
故P點坐標為：（

4

5

b，

7

5

b）；（

4

5

b，

16

15

b）；（

4

5

b，-

13

5

b）；（

4

5

b，

9

5

b）．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應用以及勾股定理和點的坐標性質(zhì)，二次函數(shù)的綜合應用是初中階段的重點題型特別注意利用數(shù)形結合是這部分考查的重點也是難點同學們應重點掌握．