Question

（2009•德化縣質(zhì)檢）已知直線l₁：與直線l₂：相交于點B（，2），且直線l₂與x軸相交于點A．
（1）求A點的坐標；
（2）點C在線段AB上，過C點作CD∥OB，交x軸于D點，已知以線段CD為直徑的⊙M與直線l₁相切．
①求⊙M的半徑r；
②若把△OAB繞著原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△OA'B'，在y軸上是否存在一點P，使得⊙P與⊙M、以O(shè)A'為直徑的⊙N都相切？若存在，請求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：本題先由兩直線相交于點B，求出b值，進而求出點A的坐標．（2）問中要根據(jù)題意畫出圖形，按照直線與圓的幾種位置關(guān)系列出關(guān)系式求解．
解答：解：（1）依題意可知：
y=-2（2+）×2+b，
解得：b=8+4；
∴直線l₂：y=-（2+）x+8+4．
由y=0得：0=-（2+）x+8+4，解得x=4；
∴A（4，0）．

（2）①設(shè)點M到直線l₁的距離為d，過點A作AE⊥l₁于點E；
在Rt△AOE中，AE=，OA=2，
∵CD∥l₁，
∴，
∴d=2-r；
∵OM與l₁相切，
∴2-r=r，即r=1；
②容易求得M（2+，），
設(shè)⊙P的半徑為R，
根據(jù)兩圓相切的性質(zhì)可得：
（一）當⊙P與⊙M、⊙N都外切時，得：
（R+1）²=（2+）²+（R+）²，解得R=4+，
∴P₁（0，-4-），
（二）當⊙N、⊙M都與⊙P內(nèi)切時，得：
（R-1）²=（2+）²+（R-）²，
解得R=
∴P₂（0，）；
綜上所述，滿足條件的P點的坐標為P₁（0，-4-），P₂（0，）．
點評：本題綜合考查了一次函數(shù)與幾何知識的應(yīng)用，題中運用圓與直線的關(guān)系以及直角三角形等知識求出線段的長是解題的關(guān)鍵．