Question

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，線段AD是BC邊上的中線，如圖①，將△ADC沿直線BC平移，使點(diǎn)D與點(diǎn)C重合，得到△FCE；如圖②，再將△FCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α≤90°），連接AF、DE．

（1）在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)∠ACE=150°時(shí)，求旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)；
（2）請(qǐng)?zhí)骄吭谛�轉(zhuǎn)過程中，四邊形ADEF能形成哪些特殊四邊形？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）分兩種情況：①點(diǎn)E和點(diǎn)D在直線AC兩側(cè)；②點(diǎn)E和點(diǎn)D在直線AC的同側(cè)分別得出即可；
（2）利用當(dāng)α=60°時(shí)以及當(dāng)α≠60°時(shí)，∠ACF≠120°，分別得出四邊形ADEF為平行四邊形，以及AE=DF和AF∥DE即可得出答案．

解答：解：（1）在圖①中，∵∠BAC=90°，∠B=30°，
∴∠ACE=∠BAC+∠B=120°．
在旋轉(zhuǎn)過程中，分兩種情況：
①當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)D在直線AC兩側(cè)時(shí)，如圖2，
∵∠ACE=150°，
∴α=150°-120°=30°；
②當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)D在直線AC的同側(cè)時(shí)，如備用圖，
∵∠ACB=180°-∠BAC-∠B=60°，
∴∠DCE=∠ACE-∠ACB=150°-60°=90°，
∴α=180°-∠DCE=90°．
∴旋轉(zhuǎn)角α為30°或90°；

（2）四邊形ADEF能形成等腰梯形和矩形．
∵∠BAC=90°，∠B=30°，AC=

1

2

BC，
又AD是BC邊上的中線，∴AD=CD=

1

2

BC=AC，
∴△ADC為正三角形．
①當(dāng)α=60°時(shí)，∠ACE=120°+60°=180°，
∵CA=CE=CD=CF，∴四邊形ADEF為平行四邊形，
又∵AE=DF，∴四邊形ADEF為矩形，
②當(dāng)α≠60°時(shí)，∠ACF≠120°，∠DCE=360°-60°-60°-∠ACF≠120°，
顯然DE≠AF，
∵AC=CF，CD=CE
∵2∠FAC+∠ACF=180°，2∠CDE+∠DCE=180°∠ACF+∠DCE=360°-60°-60°=240°，
∴2∠FAC+2∠CDE=120°，
∴∠FAC+∠CDE=60°，
∵∠DAF+∠ADE=120°+60°=180°
∴AF∥DE．
∴四邊形ADEF為等腰梯形．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及矩形、等腰梯形的判定等知識(shí)，利用旋轉(zhuǎn)得出正確圖形是解題關(guān)鍵．