Question

如圖，已知四邊形ABCD中，AB=AD=8，∠A=∠B=90°．E為AB上一點(diǎn)，且DE⊥DC，DF平分∠EDC交BC于F．
（1）請(qǐng)用尺規(guī)作圖作出DF，保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法；
（2）連EF，若tan∠ADE=

1

4

，求EF的長(zhǎng)；
（3）在（2）的條件下，作DG⊥BC于G，連接AG，交DE于M，則MA的長(zhǎng)為

8

5

2

．

Answer 1

分析：（1）利用角平分線的作法作圖即可；
（2）過(guò)D作DG⊥BC于G，由已知可得四邊形ABGD為正方形，然后利用正方形的性質(zhì)和已知條件證明△ADE≌△GDC，接著利用全等三角形的性質(zhì)證明△EDF≌△CDF，
由tan∠ADE=

1

4

根據(jù)已知條件可以求出AE=GC=2．設(shè)EF=x，則BF=10-CF=10-x，BE=6．在Rt△BEF中根據(jù)勾股定理即可求出x，也就求出了EF；
（3）利用已知得出△AEM∽△GDM，則

AM

MG

=

AE

DG

，求出AM即可．

解答：解：（1）如圖1所示：DF即為所求；

（2）如圖2所示：過(guò)D作DG⊥BC于G．
由已知可得四邊形ABGD為正方形，
∵DE⊥DC．
∴∠ADE+∠EDG=90°=∠GDC+∠EDG，
∴∠ADE=∠GDC．
又∵∠A=∠DGC且AD=GD，
在△ADE和△GDC中，

∠ADE=∠GDC AD=DG ∠DAE=∠DGC

∴△ADE≌△GDC（ASA），
∴DE=DC且AE=GC．
在△EDF和△CDF中

DE=DC ∠EDF=∠CDF DF=DF

，
∴△EDF≌△CDF，
∴EF=CF；
∵tan∠ADE=

AE

AD

=

1

4

，
∴AE=GC=2．
∴BC=10，
BE=6，設(shè)CF=x，則BF=10-CF=10-x，
在Rt△BEF中，由勾股定理得：x²=（10-x）²+6²，
解得：x=6.8，
即EF=6.8；

（3）如圖2所示：
由題意可得出：AB∥DG，
∴△AEM∽△GDM，
∴

AM

MG

=

AE

DG

，
∵AB=AD=8，∠A=∠B=90°，∠DGB=90°，
∴四邊形ABDG是正方形，
∴DG=8，
∵AE=2，
∴

AM

8-AM

=

2

8

，
解得：AM=

8 2

5

．
故答案為：

8 2

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了梯形、正方形、直角三角形以及相似三角形的判定與性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)．解決此類(lèi)題要懂得用梯形的常用輔助線，把梯形分割為矩形和直角三角形，從而由矩形和直角三角形的性質(zhì)來(lái)求解．