Question

（2012•溧水縣一模）如圖，在△ABD中，∠A=∠B=30°，以AB邊上一點(diǎn)O為圓心，過A，D兩點(diǎn)作⊙O交AB于C．
（1）判斷直線BD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）連接CD，若CD=5，求AB的長．

Answer 1

分析：（1）直線BD與⊙O相切．連接OD，由已知條件證明OD⊥BD，即可
（2）由（1）知，∠ODA=∠DAB=30°，又因?yàn)閳A的半徑相等所以可證明△DOC是等邊三角形，利用直角三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)即可求出AB的長．

解答：（1）直線BD與⊙O相切．理由如下：
解：如圖，連接OD，
∵∠ODA=∠DAB=∠B=30°，
∴∠ODB=180°-∠ODA-∠DAB-∠B
=180°-30°-30°-30°=90°，
即OD⊥BD，
∴直線BD與⊙O相切；
（2）解：由（1）知，∠ODA=∠DAB=30°，
∴∠DOB=∠ODA+∠DAB=60°，
又∵OC=OD，
∴△DOC是等邊三角形，
∴OA=OD=CD=5．
又∵∠B=30°，∠ODB=90°，
∴OB=2OD=10．
∴AB=OA+OB=5+10=15．

點(diǎn)評：本題考查了切線的判定和性質(zhì)以及等邊三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，題目的綜合性不小，難度不大．