Question

半徑為2cm的與⊙O邊長(zhǎng)為2cm的正方形ABCD在水平直線l的同側(cè)，⊙O與l相切于點(diǎn)F，DC在l上．

（1）過(guò)點(diǎn)B作的一條切線BE，E為切點(diǎn)．

①填空：如圖1，當(dāng)點(diǎn)A在⊙O上時(shí)，∠EBA的度數(shù)是　    　；

②如圖2，當(dāng)E，A，D三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，求線段OA的長(zhǎng)；

（2）以正方形ABCD的邊AD與OF重合的位置為初始位置，向左移動(dòng)正方形（圖3），至邊BC與OF重合時(shí)結(jié)束移動(dòng)，M，N分別是邊BC，AD與⊙O的公共點(diǎn)，求扇形MON的面積的范圍．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）①30°。

②

 （2）

【解析】

試題分析：（1）①根據(jù)切線的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)得出∠EBA的度數(shù)即可：

∵半徑為2cm的與⊙O邊長(zhǎng)為2cm的正方形ABCD在水平直線l的同側(cè)，當(dāng)點(diǎn)A在⊙O上時(shí)，過(guò)點(diǎn)B作的一條切線BE，E為切點(diǎn)，

∴OB=4，EO=2，∠OEB=90°。       

∴∠EBA的度數(shù)是：30°。

②利用切線的性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)得出，進(jìn)而求出OA即可。

如圖2，

∵直線l與⊙O相切于點(diǎn)F，∴∠OFD=90°。

∵正方形ADCB中，∠ADC=90°，∴OF∥AD。

∵OF=AD=2，∴四邊形OFDA為平行四邊形。

∵∠OFD=90°，∴平行四邊形OFDA為矩形。∴DA⊥AO。

∵正方形ABCD中，DA⊥AB，O、A、B三點(diǎn)在同一條直線上，∴EA⊥OB。

∵∠OEB=∠AOE，∴△EOA∽△BOE。

∴，即，解得：。

∵OA＞0，∴。

（2）設(shè)∠MON=n°，得出，進(jìn)而利用函數(shù)增減性分析①當(dāng)N，M，A分別與D，B，O重合時(shí)，MN最大，②當(dāng)MN=DC=2時(shí)，MN最小，分別求出即可。

如圖3，設(shè)∠MON=n°，（cm²）。

∴S隨n的增大而增大，當(dāng)∠MON取最大值時(shí)，S_扇形MON最大，當(dāng)∠MON取最小值時(shí)，S_扇形MON最小。    

過(guò)O點(diǎn)作OK⊥MN于K，∴∠MON=2∠NOK，MN=2NK。

在Rt△ONK中，，

∴∠NOK隨NK的增大而增大。

∴∠MON隨MN的增大而增大。

∴當(dāng)MN最大時(shí)∠MON最大，當(dāng)MN最小時(shí)∠MON最小。

①當(dāng)N，M，A分別與D，B，O重合時(shí)，MN最大，

此時(shí)，MN=BD，∠MON=∠BOD=90°，（cm²）。

②當(dāng)MN=DC=2時(shí)，MN最小，

此時(shí)，ON=MN=OM�！唷螻OM=60°。（cm²）。

∴。