Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)M（1，3）和N（3，5）

（1）試判斷該拋物線與x軸交點(diǎn)的情況；

（2）平移這條拋物線，使平移后的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（﹣2，0），且與y軸交于點(diǎn)B，同時(shí)滿足以A、O、B為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，請(qǐng)你寫出平移過程，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線與x軸沒有交點(diǎn)；（2）先向左平移3個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位或將原拋物線先向左平移2個(gè)單位，再向下平移5個(gè)單位．

【解析】

試題分析：（1）把M、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線解析式可求得a、b的值，可求得拋物線解析式，再根據(jù)一元二次方程根的判別式，可判斷拋物線與x軸的交點(diǎn)情況；

（2）利用A點(diǎn)坐標(biāo)和等腰三角形的性質(zhì)可求得B點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出平移后的拋物線的解析式，把A、B的坐標(biāo)代入可求得平移后的拋物線的解析式，比較平移前后拋物線的頂點(diǎn)的變化即可得到平移的過程．

試題解析：

（1）由拋物線過M、N兩點(diǎn)，把M、N坐標(biāo)代入拋物線解析式可得：，解得：，∴拋物線解析式為，令y=0可得，該方程的判別式為△=9﹣4×1×5=9﹣20=﹣11＜0，∴拋物線與x軸沒有交點(diǎn)；

（2）∵△AOB是等腰直角三角形，A（﹣2，0），點(diǎn)B在y軸上，∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2）或（0，﹣2），可設(shè)平移后的拋物線解析式為：

①當(dāng)拋物線過點(diǎn)A（﹣2，0），B（0，2）時(shí)，代入可得：，解得：，∴平移后的拋物線為，∴該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，），而原拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，），∴將原拋物線先向左平移3個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位即可獲得符合條件的拋物線；

②當(dāng)拋物線過A（﹣2，0），B（0，﹣2）時(shí)，代入可得：，解得：，∴平移后的拋物線為，∴該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，），而原拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，），∴將原拋物線先向左平移2個(gè)單位，再向下平移5個(gè)單位即可獲得符合條件的拋物線．