Question

如圖，平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)AB：y=x+12與直線(xiàn)CD：y=kx+10k交于點(diǎn)E，且E點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-2，
（1）求直線(xiàn)CD的解析式；
（2）動(dòng)點(diǎn)P從B出發(fā)以每秒

2

個(gè)單位的速度沿射線(xiàn)BA運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥x軸交直線(xiàn)CD于Q，若點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，PQ的長(zhǎng)度為y，求y與t的函數(shù)關(guān)系式（t＞0）；
（3）在（2）的條件下，求t為何值時(shí)，△PQO的外接圓與坐標(biāo)軸相切．

Answer 1

分析：（1）將E點(diǎn)的縱坐標(biāo)-2代入y=x+12，即可求出E點(diǎn)的坐標(biāo)，再將E點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=kx+10k，即可求出直線(xiàn)CD的解析式；
（2）先根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的特點(diǎn)得到A、B、C、D的坐標(biāo)，由勾股定理得到AB，CD的長(zhǎng)，過(guò)P作PF⊥OB，過(guò)Q作QG⊥OD，根據(jù)三角函數(shù)的知識(shí)得到QG=PF=t，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可得
y與t的函數(shù)關(guān)系式（t＞0）；
（3）分兩種情況：①∵與x軸相切；②過(guò)PQ中點(diǎn)G作GH⊥OD于D，以H為圓心，當(dāng)H在x軸負(fù)半軸；當(dāng)H在x軸正半軸討論求解即可．

解答：解：（1）∵E在y=x+12上，且E點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-2，
∴x+12=-2，
解得：x=-14，
∴E（-14，-2），
∵E在y=kx+10k上，
∴-14k+10k=-2
解得：k=

1

2

，
故直線(xiàn)CD的解析為：y=

1

2

x+5；

（2）∵y=x+12交x、y軸于點(diǎn)B、A，
∴B（-12，0），A（0，12），
∵y=

1

2

x+5與x、y軸交于點(diǎn)D、C，
∴D（-10，0），C（0，5），
在Rt△AOB中：AB=

OA2+OB2

=12

2

，
在Rt△DCO中，CD=

OC2+OD2

=5

5

，
過(guò)P作PF⊥OB，過(guò)Q作QG⊥OD，
∵BP=

2

t，且∠ABO=45°，
∴PF=BP•sin45°=

2

t×

2

2

=t，
∴QG=PF=t，
∵P在y=x+12上，
∴P（t-12，t）
∵Q在y=

1

2

x+5上，
∴Q（2t-10，t），
∴y=2t-10-（t-12）=t+2，
∴y與t的函數(shù)關(guān)系式為：y=t+2；

（3）分兩種情況：
①∵與x軸相切，
∴OG為直徑
∴PH=QH
∴PQ=t+2
PH=

1

2

t+1
∵PH∥BO
∴△APH∽△ABO
∴

1 2 t+1

12

=

12 2 - 2 t

12 2

t=

22

3

②過(guò)PQ中點(diǎn)G作GH⊥OD于D，
∵HO⊥AO
∴H為圓心，當(dāng)H在x軸負(fù)半軸
∴GQ=

1

2

PQ=

1

2

t+1
∵△CQF∽△CDO
∴QF=10-2t
∴PF=12-t
∴FO=GH=t
在△GQH中：
t²+（

1

2

t+1）²=（11-

3

2

t）²，
解得：t=30（舍），t=4．
同理當(dāng)H在x軸正半軸t2+(

1

2

t+1)2=(

3

2

t-11)2
當(dāng)t=解得：t=30，t=4（舍）．
綜上：當(dāng)t=30，t=

22

3

或t=4時(shí)，△PQO的外接圓與坐標(biāo)軸相切．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了待定系數(shù)法，勾股定理，三角函數(shù)以及一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，要注意的是（3）中，要根據(jù)與x軸、y軸相切進(jìn)行分類(lèi)求解．