Question

21、（1）現(xiàn)有一個(gè)19°的“模板”（圖），請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種辦法，只用這個(gè)“模板”和鉛筆在紙上畫(huà)出1°的角來(lái)．
（2）現(xiàn)有一個(gè)17°的“模板”與鉛筆，你能否在紙上面畫(huà)出一個(gè)1°的角來(lái)？
（3）用一個(gè)21°的“模板”與鉛筆，你能否在紙上畫(huà)出一個(gè)1°的角來(lái)？
對(duì)（2）、（3）兩問(wèn)，如果能，請(qǐng)你簡(jiǎn)述畫(huà)法步驟，如果不能，請(qǐng)你說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）在平面上取一點(diǎn)O，過(guò)O點(diǎn)畫(huà)一條直線AOB，以19°模板頂點(diǎn)與O重合，一邊與OB射線重合，另一邊落在射線OB₁，仍以O(shè)為頂點(diǎn)，角一邊重合于OB₁，另一邊落在射線OB₂，這樣做出19個(gè)19°的角，其總和為361°，即可求解．
（2）利用17°角的模板，要畫(huà)出1°的角，關(guān)鍵在于找到整數(shù)m和n，使得17×m-180×n=1．
（3）利用21°角的模板，要畫(huà)出1°的角，關(guān)鍵在于找到整數(shù)m和n，使得21×m-180×n=1．

解答：解：（1）在平面上取一點(diǎn)O，過(guò)O點(diǎn)畫(huà)一條直線AOB，以19°模板頂點(diǎn)與O重合，一邊與OB射線重合，另一邊落在射線OB₁，仍以O(shè)為頂點(diǎn)，角一邊重合于OB₁，另一邊落在射線OB₂，這樣做出19個(gè)19°的角，其總和為361°，
∠BOB₁₉就是1°角；

（2）利用17°角的模板，要畫(huà)出1°的角，關(guān)鍵在于找到整數(shù)m和n，使得17×m-180×n=1．
事實(shí)上17×53-180×5=901-900=1．
所以做法如下：
在平面上任取一點(diǎn)O，過(guò)O點(diǎn)畫(huà)直線AOB，以O(shè)B為始邊．O為頂點(diǎn)，反時(shí)針?lè)较蛞来萎?huà)53個(gè)17°的角，設(shè)最后的終邊為OB₅₃，而5×180°的終邊在OA射線，這時(shí)∠AOB₅₃即為1°的角；

（3）若用21°的模板可以畫(huà)出1°的角，則存在整數(shù)m，n，使得
21°×m-180°×n=1°，此時(shí)我們發(fā)現(xiàn)，這樣的m，n不存在，因此，用21°角的模板和鉛筆不能畫(huà)出1°角來(lái)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了角的計(jì)算，難度較大，關(guān)鍵是找到符合題意的整數(shù)m和n．