Question

如圖甲，矩形DEFC的邊DE與x軸重合且OD=2，CF交y軸于點B（0，2），已知拋物線的頂點為 A（0，1），點C、F在拋物線上。

（1）求此拋物線的解析式；
（2）如圖乙，若P點為拋物線上不同于A點的一點，連接PB并延長交拋物線于點Q，過點P、Q分別作x軸的垂線，垂足分別為S、R，試判斷PS與PB是否相等，請說明理由；
（3）在（2）的情況下，試探索在線段SR上是否存在點M，使得以P、S、M為頂點的三角形和以Q、R、M為頂點的三角形相似，若存在，請找出M點的位置；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）由拋物線的軸對稱性可知，
C、F兩點關于拋物線對稱軸y軸對稱，
∴C為（-2，2），
而拋物線的頂點為（0，1），
設解析式為y=ax²+1，
把點（-2，2）代入得，
∴；
（2）PS=PB，
理由如下：
設P為，
∴
PB=
∴PS=PB；
（3）設SP=b，QR=c，
由（2）可知SP=PB=b，QR=BQ=c，
∴SR=
即
設SR上有一點M，
∴①當△SPM∽RQM時

∴
∴M與原點O重合，
②當△SPM∽△RMQ時，
即
∴
解得
∴M為SR的中點，
綜上所述：M為SR的中點或與原點重合。