Question

（2013•本溪二模）如圖，已知AD是△ABC中BC邊上的高，以AD為直徑的⊙O分別交AB、AC于點E、F，點G是BD的中點
（1）求證，GE是⊙O的切線；
（2）若∠B=30°，AD=4，求由線段GD、GE和弧DE圍成的陰影部分面積．

Answer 1

分析：（1）連接OE，OG，由AD為圓O的直徑，利用直徑所對的圓周角為直角得到DE垂直于AB，在直角三角形BED中，利用斜邊上的中線等于斜邊的一半得到EG=DG，再由OE=OD，OG為公共邊，利用SSS得出三角形OEG與三角形ODG全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到∠OEG=∠ODG=90°，即可確定出EG為圓O的切線；
（2）由∠B的度數(shù)求出∠EOD的度數(shù)，利用扇形面積公式求出扇形EOD的面積，再求出三角形EOD面積，由扇形面積減去三角形面積求出弓形DE面積，再由三角形EGD面積減去弓形面積即可求出陰影部分面積．

解答：解：（1）連接OE，OG，
∵AD為圓O的直徑，
∴∠AED=90°，
∴∠BED=90°，
在Rt△BED中，EG為斜邊BD的中點，
∴EG=BG=DG=

1

2

BD，
在△OEG和△ODG中，

OE=OD OG=OG EG=DG

，
∴△OEG≌△ODG（SSS），
∴∠OEG=∠ODG=90°，
則EG為圓O的切線；

（2）∵EG=BG，
∴∠BEG=∠B=30°，
∴∠EGD=60°，∠EOD=120°，
∵EG=DG，GO為∠EGD平分線，
∴OG⊥ED，
∵AD=4，
∴OE=OD=2，
∴S_弓形ED=S_扇形EOD-S_△EOD=

120π×22

360

-

1

2

×2

3

×1=

4π

3

-

3

，
則S_陰影=S_△EDG-S_弓形ED=

1

2

×3×2

3

-

4π

3

+

3

=4

3

-

4π

3

．

點評：此題考查了切線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，以及扇形面積求法，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．