Question

有一張矩形紙片ABCD，E、F分別是BC、AD上的點(但不與頂點重合)，若EF將矩形ABCD分成面積相等的兩部分，設AB＝a，AD＝b，BE＝x， (1) 求證：AF＝EC； (2) 用剪刀將該紙片沿直線EF剪開后，再將梯形紙片ABEF沿AB對稱翻折，平放拼接在梯形ECDF的下方，使一邊重合，一腰落在DC的延長線上，拼接后，下方梯形證C． ①當x∶b為何值時，直線E經過原矩形的一個頂點； ②在直線E經過原矩形的一個頂點的情形下，連結B，直線B與EF是否平行；你若認為平行，請給予證明；你若認為不平行，試探究當a與b有何種數(shù)量關系時，它們就垂直．

Answer 1

答案：
解析：

(1)

∵EF將矩形分成面積相等的兩部分 　　∴有關系式：(AF＋x)a＝(b－x＋b－AF)a 　　由此可證得AF＝EC

(2)

①如圖(1)，當直線E經過原矩形的頂點D時，∵DC＝C＝a．EC∥，∴DE＝E，∴2EC＝， 　　即2(b－x)＝x可解得x∶b＝2∶3 　　如圖(2)，當直線E過原矩形的頂點A時， 　　∵DC＝C＝a　AD∥EC∥ 　　∵AE＝E　∴2EC＝＋AD 　　即2(b－x)＝x＋b，從而解得x∶b＝1∶3 　　③如圖(1)，當直線E過原矩形的頂點D時，B∥EF 　　證明：連BF，∵DFBE 　　∴四邊形BEDF為平行四邊形， 　　∴BFDE， 　　又DC＝C　EC∥ 　　∴DE＝E　∴BFE 　　∴四邊形BFE是平行四邊形，∴B∥EF． 　　如圖(2)，當直線E經過原矩形的頂點A時， 　　顯然BEF， 　　設直線EF與A交于點G， 　　∵∠FEC＝∠EFA－∠EC 　　又∠BEG＝∠FEC 　　∴∠BEG＝∠EC 　　若∠EBG＝∠EM 　　則B⊥EF 　　在B⊥EF的情況下， 　　不妨設∠EBG＝α，則∠EM＝α 　　在Rt△BM中，tanα＝＝＝ 　　在Rt△EM中，tanα＝＝＝ 　　∴＝ 　　∵a＞b，b＞0　∴＝ 　　即當＝時，B⊥EF．