Question

如圖，二次函數y=

1

4

x2+(

m

4

+1)x+m（m＜4）的圖象與x軸相交于點A、B兩點．
（1）求點A、B的坐標（可用含字母m的代數式表示）；
（2）如果這個二次函數的圖象與反比例函數y=

9

x

的圖象相交于點C，且∠BAC的余弦值為

4

5

，求這個二次函數的解析式．

Answer 1

分析：（1）求點A、B的坐標，由圖形知A、B的縱坐標=0，代入二次函數y=

1

4

x2+(

m

4

+1)x+m（m＜4），得到關于x的方程，求出點A、B的橫坐標，從而解決問題；
（2）求二次函數y=

1

4

x2+(

m

4

+1)x+m（m＜4）的解析式，要解決m的值，需求出一點的坐標，可以根據∠BAC的余弦值為

4

5

，設AD=4k，AC=5k，則CD=3k，得到點C（4k-4，3k），又二次函數的圖象與反比例函數y=

9

x

的圖象相交于點C，通過反比例函數y=

9

x

求出點C的坐標，代入y=

1

4

x2+(

m

4

+1)x+m（m＜4），得到二次函數的解析式．

解答：解：（1）當y=0時，

1

4

x2+(

m

4

+1)x+m=0，（1分）
x²+（m+4）x+4m=0，x₁=-4，x₂=-m．（2分）
∵m＜4，
∴A（-4，0），B（-m，0）（5分）

（2）過點C作CD⊥x軸，垂足為D，cos∠BAC=

AD

AC

=

4

5

，
設AD=4k，AC=5k，則CD=3k．（6分）
∵OA=4，
∴OD=4k-4，點C（4k-4，3k）．（7分）
∵點C在反比例函數y=

9

x

的圖象上，
∴3k=

9

4k-4

．（8分）
4k²-4k-3=0，k1=-

1

2

（舍去），k2=

3

2

．（9分）
∴C（2，

9

2

）．
∵點C在二次函數的圖象上，
∴

9

2

=

1

4

×22+2(

m

4

+1)+m，
∴m=1，（11分）
∴二次函數的解析式為y=

1

4

x2+

5

4

x+1．（12分）

點評：本題考查了反比例函數，代入法求二次函數的坐標及函數解析式，同時考查了解一元二次方程．