Question

如圖，正方形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，以AD為邊向外作Rt△ADE，∠AED=90°，連接OE，DE=6，OE=8

2

，則另一直角邊AE的長為

 

．

Answer 1

分析：首先過點(diǎn)O作OM⊥AE于點(diǎn)M，作ON⊥DE，交ED的延長線于點(diǎn)N，易得四邊形EMON是正方形，點(diǎn)A，O，D，E共圓，則可得△OEN是等腰直角三角形，求得EN的長，繼而證得Rt△AOM≌Rt△DON，得到AM=DN，繼而求得答案．

解答：解：過點(diǎn)O作OM⊥AE于點(diǎn)M，作ON⊥DE，交ED的延長線于點(diǎn)N，
∵∠AED=90°，
∴四邊形EMON是矩形，
∵正方形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，
∴∠AOD=90°，OA=OD，
∴∠AOD+∠AED=180°，
∴點(diǎn)A，O，D，E共圓，
∴

OA

=

OD

，
∴∠AEO=∠DEO=

1

2

∠AED=45°，
∴OM=ON，
∴四邊形EMON是正方形，
∴EM=EN=ON，
∴△OEN是等腰直角三角形，
∵OE=8

2

，
∴EN=8，
∴EM=EN=8，
在Rt△AOM和Rt△DON中，

OA=OD OM=ON

，
∴Rt△AOM≌Rt△DON（HL），
∴AM=DN=EN-ED=8-6=2，
∴AE=AM+EM=2+8=10．
故答案為：10．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正方形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．