Question

如圖，在直角坐標系中，⊙P與y軸相切于點C，與x軸交于A（x₁，0），B（x₂，0）兩點，其中x₁，x₂是方程x²-10x+16=0的兩個根，且x₁＜x₂，連接BC，AC．
（1）求過A、B、C三點的拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使△QAC的周長最��？若存在求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）點M在第一象限的拋物線上，當△MBC的面積最大時，求點M的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接PC，則PC⊥y軸，過點P作PE⊥AB于點E，分別求出A、B、C三點坐標，利用待定系數法求出拋物線解析式；
（2）利用軸對稱求最短路徑的知識，可得連接BC，BC與對稱軸的交點即是點Q的位置，求出點Q的坐標即可；
（3）經過點M且與BC平行的直線，當這條直線與拋物線相切時，點M到BC的距離最大，即此時△MBC的面積最大，求出點M的坐標即可．
解答：解：（1）連接PC，
∵⊙P與y軸相切于點C
∴PC⊥y軸，
過點P作PE⊥AB于點E，

x₁，x₂是方程x²-10x+16=0的兩個根，
解得：x₁=2，x₂=8，
即點A的坐標為（2，0），點B的坐標為（8，0），
∵PE⊥AB，
∴AE=BE，
∴AE=3，BE=3，
∴OE=5，PC=PA=5，
在Rt△APE中，PE==4，
故可得點C的坐標為（0，-4），
過A、B、C三點的拋物線的解析式為y=a（x-2）（x-8），
將點C（0，-4）代入可得：-4=a（0-2）（0-8），
解得：a=-，
故拋物線解析式為y=-（x-2）（x-8）=-x²+x-4．

（2）存在．
連接BC，則BC與對稱軸交點即是點Q的位置，
設直線BC的解析式為y=kx+b，
將點B、C的坐標代入可得：，
解得：，
故直線BC的解析式為y=x-4，
拋物線的對稱軸為x=-=5，
將x=5代入直線BC解析式可得：y=-，
故點Q的坐標為（5，-）．

（3）設平行BC且經過點M的直線解析式為y=x+m，
聯立直線與拋物線可得：x+m=-x²+x-4，即-x²+2x-4-m=0，
△=4-4×（-）×（-4-m）=0，
解得：m=0，
則-x²+2x-4-m=0，可化為：-x²+2x-4=0，
解得：x=4，
將x=4代入直線解析式可得：y=2，
故點Q的坐標為（4，2）．
點評：本題考查了二次函數的綜合題，涉及了待定系數法求函數解析式、一元二次方程的解、垂徑定理及三角形的面積，考察的知識點較多，同學們注意培養(yǎng)自己解答綜合題的能力，將所學知識融會貫通．