Question

如圖CE是等邊三角形ABC邊AB邊上的高，AB=4，DA⊥AB，DA=

3

，BD與CE、CA分別交于點F、M．
（1）求CF的長；
（2）求△ABM的面積．

Answer 1

分析：（1）利用三角形的中位線平行于第三邊并且等于它的一半可求得EF的長，則CF的長可求；
（2）由（1）中過程可知△ADM∽△CFM，根據(jù)相似比可求出AM的長，過點M作MN⊥AB于N，在Rt△AMN中可求出高MN的長，則△ABM的面積可求解．

解答：解：（1）∵CE是等邊三角形ABC邊AB上的高，
∴E是AB的中點，
∵DA⊥AB，∴CE∥DA，
∵DA=

3

，∴EF=

1

2

AD=

3

2

，
∴AB=4，∴CE=2

3

，
∴CF=CE-EF=

3 3

2

；

（2）如圖，過點M作MN⊥AB于點N，
∵△ADM∽△CFM，∴

AM

MC

=

AD

CF

=

2

3

，
∴

AM

AC

=

2

5

，
∴AM=

2

5

AC=

8

5

，
在Rt△AMN中，
∵AM=

8

5

，∠MAB=60°，
∴MN=AM•sin60°=

4 3

5

，
∴S_△ABM=

1

2

AB•MN=

8 3

5

．

點評：本題考查了三角形的中位線定理、等邊三角形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)及判定．相似比是聯(lián)系周長、面積、對應線段等的媒介，也是相似三角形計算中常用的一個比值．