Question

【題目】拋物線與軸相交于兩點，與軸交于點.

（1）設,求該拋物線的解析式；

（2）在⑴中，若點為直線下方拋物線上一動點，當⊿的面積最大時，求點的坐標；

（3）是否存在整數(shù)使得和同時成立，請證明你的結論.

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為；

（2）；

（3）不存在整數(shù)使得和同時成立，證明見解析.

【解析】試題分析：本題的⑴問中由于拋物線上沒有現(xiàn)成的坐標，所以要根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系，并結合三角函數(shù)和二次函數(shù)的對稱軸進行多次代數(shù)轉換即可求出二次函數(shù)的待定系數(shù)，其轉換有點繁瑣，可以分步進行.

關于面積的“最值”問題一般都要通過建立二次函數(shù)切入來解決問題，本題的⑵問可采用“割補法”來表示⊿的面積.若采取“補”的辦法，可以連接,此時⊿的面積可以看作是四邊形的面積減去⊿的面積，即⊿= ⊿+ （或 -）⊿ - ⊿ ，由于在⑴問中我們能把原二次函數(shù)的解析式求出來，在此基礎上求出的坐標，然后把的橫縱坐標均用自變量表示出來，在此基礎上建立關于⊿的面積的二次函數(shù)使問題可以解決.（本問也可以采用過點作軸的垂線把⊿ “割”成兩個三角形來解答，計算量相當.）

本題的⑶問是一個存在性的問題.先假設存在，然后結合和利用根與系數(shù)的關系解出的分別的整數(shù)值，在此基礎上分析圖象信息所得出的條件，分別代入討論，即可使問題獲得解決.

試題解析：（1）根據(jù)題中的

可知：

∴，

配方得： .分別代入得： ①

∵

∴；

又拋物線與軸的交點為，

∴

∵拋物線對稱軸為 ，

即，

又，

∴.

∴②，

把①②聯(lián)立后解得： 或（舍去）.

把代入①得： .

∴拋物線解析式為.

⑵.連結,過點分別向坐標作高 (見后面的圖示)

若設點的橫坐標為，代入后得到，

即點的橫縱坐標為.

則.

在中，令時， ；

即與軸交于點的坐標為.

令時，解得：

即與軸交于點的坐標為.

∴⊿= ⊿+ ⊿ - ⊿=

①當時， .

∵二次項系數(shù)

∴沒有最大值.

②當時， .

∵二次項系數(shù)

∴有最大值.當時， 有最大值 .

∴.

⑶假設存在整數(shù)，并且使得和同時成立.、

根據(jù)題意有： 即

解得：

∵為整數(shù)

∴

對于拋物線與軸相交于兩點.

若要同時存在和說明：

①此時的拋物線開口向上且與軸在兩個點之間（不含這兩個點）有兩個交點.；

②當時， ；

③當時， .

∴ ①；②；③； 又④要為整數(shù).

∴把代入①②③④解得無解；

把代入①②③④解得無解；

把代入①②③④解得無解.

綜上所述不存在整數(shù)使得和同時成立.