Question

【題目】頂角為36°的等腰三角形稱為黃金三角形，利用黃金三角形求的準確值.

Answer 1

【答案】

【解析】

根據(jù)黃金三角形的頂角為36°，利用等腰三角形的性質(zhì)求證∠GBC=∠BAC，∠C=∠C，從而得到△BGC∽△ABC，然后利用相似三角形的性質(zhì)求其底與一腰之比即 ，作出黃金三角形頂角的平分線，解得等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可得出sin18°的值

解：如圖所示：做MN垂直平分AB交AC于點G，作∠BAC的平分線AD，

∵△ABC是黃金三角形，

∴∠BAC=36°，AB=AC，

∴AG=BG，∠GBA=∠BAG=36°，∠ABC=∠C=72°

∴∠GBC=36°，∠BGC=72°

設(shè)BC=x，AB=AC=y，

∴AG=BG=BC=x．

∵∠GBC=∠BAC，∠C=∠C，

∴△BGC∽△ABC，

∴ ，即，

整理，得x2+xy-y2=0，

解得

因為x、y均為正數(shù)，所以

即 ，

作∠BAC的平分線AD，

則∠BAD=∠CAD=∠BAC=18°，AD⊥BC，BD=CD=BC，

在Rt△ABD中，∠ADB=90°，

∴sin18°=sin∠BAD=．