Question

已知：如圖，△ABC中，AB=BC=CA=6，BC在x軸上，BC邊上的高線AO在y軸上，直線△APC點轉(zhuǎn)動（與線段BC沒有交點）．設(shè)與AB、l、x軸相切的⊙O₁的半徑為r₁，與AC、l、x軸相切的⊙O₂的半徑為r₂
（1）當直線l繞點A轉(zhuǎn)到任何位置時，⊙O₁、⊙O₂的面積之和最小，為什么？
（2）若r1-r2=

3

，求圖象經(jīng)過點O₁、O₂的一次函數(shù)解析式．

Answer 1

分析：（1）設(shè)切點分別為M、N、D、G．由切線長定理得MN+DG=AB+BC+AC=18，DB+CG=3．連接O₁D、O₁B，可求得DB=

3

3

r1．同理CG=

3

3

r2，則r1+r2=3

3

．⊙O₁、⊙O₂的面積之和S=πr12+π(3

3

-r1)2=2π[(r1-

3 3

2

)2+

27

4

]．當r1=r2=

3 3

2

，即l∥x軸時，S最�。�
（2）由（1）得r1+r2=3

3

，結(jié)合r1-r2=

3

，∠BDH=∠ADC=90°可知O1(-5，2

3

)，O2(4，

3

)．設(shè)圖象經(jīng)過點O₁、O₂的一次函數(shù)解析式為y=kx+b，利用待定系數(shù)法可解得直線O₁、O₂的解析式y=-

3

9

x+

13 3

9

．

解答：解：（1）當l∥x軸時，⊙O₁、⊙O₂的面積之和最�。�      
如圖，設(shè)切點分別為M、N、D、G．
由切線長定理得MN+DG=AB+BC+AC=18．
∵MN=DG，
∴DG=9，
∴DB+CG=3．
連接O₁D、O₁B，
∴O₁D⊥BD，∠DBO₁=60°，
∴DB=

3

3

r1．
同理CG=

3

3

r2．
∴r1+r2=3

3

．                     
∵⊙O₁、⊙O₂的面積之和S=πr12+π(3

3

-r1)2
=2π[(r1-

3 3

2

)2+

27

4

]
∴當r1=r2=

3 3

2

，即l∥x軸時，S最�。�

（2）由（1）得r1+r2=3

3

，
∵r1-r2=

3

，∠BDH=∠ADC=90°，
∴O1(-5，2

3

)，O2(4，

3

)．             
設(shè)圖象經(jīng)過點O₁、O₂的一次函數(shù)解析式為y=kx+b，
則

-5k+b=2 3 4k+b= 3

，
解得

k=- 3 9 b= 13 3 9

∴直線O₁、O₂的解析式為y=-

3

9

x+

13 3

9

．

點評：主要考查了函數(shù)和幾何圖形的綜合運用．解題的關(guān)鍵是會靈活的運用函數(shù)圖象上點的意義和圓中的有關(guān)性質(zhì)來表示相應(yīng)的線段之間的關(guān)系，利用切線長和半徑的特點找到相等關(guān)系利用方程組求解．試題中貫穿了方程思想和數(shù)形結(jié)合的思想，請注意體會．