Question

【題目】如圖在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過，兩點(diǎn)，且與軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在直線下方的二次函數(shù)圖象上．

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）如圖1，連接，，設(shè)的面積為，求的最大值；

（3）如圖2，過點(diǎn)作于點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使得中的某個(gè)角恰好等于的2倍？若存在，直接寫出點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】1）；（2）S最大值為4；（3）存在，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為2或

【解析】

（1）根據(jù)題意得到B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)拋物線的解析式為，將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入求得m的值即可；

（2）過點(diǎn)D作DF⊥x軸，交BC與點(diǎn)F，設(shè)，則，然后列出S與x的關(guān)系式，最后利用配方法求得其最大值即可；

（3）根據(jù)勾股定理的逆定理得到△ABC是以∠ACB為直角的直角三角形，取AB的中點(diǎn)E，EA=EC=EB=，過D作Y軸的垂線，垂足為R，交AC的延線于G，設(shè)，則DR=x，，最后，分為∠DCM=2∠BAC和∠MDC=2∠BAC兩種情況列方程求解即可．

：（1）把x=0代入得y=-2，

∴C（0，-2）．

把y=0代得x=4，

∴B（4，0），

設(shè)拋物線的解析式為，將C（0，-2）代入得：2m=-2，解得：m=-1，∴A（-1，0）．

∴拋物線的解析式，即；

（2）如圖所示：過點(diǎn)D作DF⊥x軸，交BC與點(diǎn)F．

設(shè)，則，，

∴，

∴當(dāng)x=2時(shí)，S有最大值，最大值為4．

（3）如圖所示：過點(diǎn)D作DR⊥y垂足為R，DR交BC與點(diǎn)G．

∵A（-1，0），B（4，0），C（0，-2），
∴，AB=5，

∴AC2+BC2=AB2，

∴△ABC為直角三角形．

取AB的中點(diǎn)E，連接CE，則CE=BE，

∴∠OEC=2∠ABC．

∴，

當(dāng)∠MCD=2∠ABC時(shí)，則tan∠CDR=tan∠ABC= ，

設(shè)，則DR=x，，

∴，解得：x=0（舍去）或x=2．
∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為2．

當(dāng)∠CDM=2∠ABC時(shí)，設(shè)MD=3k，CM=4k，CD=5k．

∵tan∠MGD= ，

∴GM=6k，，

∴GC=MG-CM=2k，

∴，

∴ ，

∴，整理得：，

解得：x=0（舍去）或x=．

∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為，

綜上所述，當(dāng)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為2或.