Question

如圖，在直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，DO⊥BC于點O，AB=BC=4，AD=2，P是線段AB上的動點，DP⊥PQ交BC于Q，R為PD的中點．
（1）求證：△DAP∽△PBQ．
（2）設AP=x，BQ=y，求y與x間的函數(shù)關系式，并求y的最大值和對應點P的位置．
（3）若以R、P、Q為頂點的三角形與△DOC相似，求此時點P的位置．

Answer 1

分析：（1）由DP垂直于PQ，得到一對角互余，再由直角三角形ADP中兩銳角互余，得到一對角互余，利用同角的余角相等得到一對角相等，再由一對直角相等，利用兩對對應角相等的兩三角形相似即可得證；
（2）由AB-AP表示出BP，根據(jù)（1）得出的兩三角形相似得比例，將各自的值代入得到y(tǒng)關于x的二次函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質求出y的最大值，以及此時x的值，確定出此時P為AB的中點；
（3）在直角三角形ADP中，AD=2，AP=x，利用勾股定理表示出DP，由R為PD的中點，表示出RP，在直角三角形PQB中，BP=4-x，BQ=y，利用勾股定理表示出PQ，將二次函數(shù)解析式代入用x表示出PQ，求出DO與OC，若△DOC∽△PRQ，則有

RP

DO

=

PQ

OC

或

RP

OC

=

PQ

DO

，分別列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出P的位置即可．

解答：解：（1）∵∠ADP+∠APD=90°，∠APD+∠QPB=90°，
∴∠ADP=∠QPB，又∠A=∠B=90°，
∴△DAP∽△PBQ；

（2）∵AP=x，
∴BP=4-x，
又∵△DAP∽△PBQ，
∴

AD

PB

=

AP

BQ

，即

2

4-x

=

x

y

，
∴y=-

1

2

x²+2x（0＜x＜4），
當x=-

b

2a

=-

2

2×(- 1 2 )

=2時，y有最大值，y_最大=

4ac-b2

4a

=

0-4

4×(- 1 2 )

=2，
此時P為AB中點；

（3）在Rt△ADP中，AD=2，AP=x，
根據(jù)勾股定理得：DP=

AD2+AP2

=

x2+4

，
∵R為PD的中點，
∴RP=

1

2

x2+4

，
∵在Rt△PBQ中，BP=4-x，BQ=y，
根據(jù)勾股定理得：
PQ=

PB2+BQ2

=

(4-x)2+y2

=

(4-x)2+(- 1 2 x2+2x)2

=

(4-x)2+ 1 4 x2(4-x )2

，
=（4-x）

1 4 x2+1

，
∵∠A=∠B=90°，DO⊥BC于點O，
∴DO=BC=4，OC=BC-BO=BC-AD=4-2=2，
若△DOC∽△PRQ，則有

RP

DO

=

PQ

OC

或

RP

OC

=

PQ

DO

，
當

RP

DO

=

PQ

OC

，即

1 2 x2+4

4

=

(4-x) 1 4 x2+1

2

，
解得：x=3.5或x=4.5（舍去）；
當

RP

OC

=

PQ

DO

，即

1 2 x2+4

2

=

(4-x) 1 4 x2+1

4

解得：x=2或x=6（舍去），
綜上，AP=3.5或2．

點評：此題考查了相似形綜合題，涉及的知識有：相似三角形的判定與性質，勾股定理，二次函數(shù)的性質，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解本題的關鍵．