Question

如圖，四邊形ABCD是等腰梯形，BC∥AD，AB=DC，BC=2AD=4cm，BD⊥CD，AC⊥AB，BC邊的中點為E．
（1）求△ADE周長；
（2）△ADE是什么三角形？為什么？
（3）試判斷AC與DE的關(guān)系，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)BD⊥CD，BC邊的中點為E可知，DE為Rt△BCD斜邊上的中線，則DE=

1

2

BC=2cm，同理可證AE=

1

2

BC=2cm，可求周長；
（2）由（1）可知，DE=2cm，AE=2cm，已知AD=2cm，可證△ADE為等邊三角形；
（3）可證四邊形ADCE為菱形，AC與DE是菱形的對角線，根據(jù)菱形的性質(zhì)可知，AC與DE互相垂直平分．

解答：解：（1）∵BD⊥CD，BC邊的中點為E，
∴DE為Rt△BCD斜邊上的中線，
∴DE=

1

2

BC=2cm，
同理可得AE=

1

2

BC=2cm，
由已知得AD=2cm，
∴AD+AE+DE=6cm；

（2）等邊三角形．
理由：由（1）可知AD=AE=DE=2cm，
∴△ADE是等邊三角形；

（3）∵AD=CE=2cm，AD∥CE，
∴四邊形ADCE為平行四邊形，又AE=AD=2cm，
∴?ADCE為菱形，
∴AC與DE互相垂直平分．

點評：本題考查了等腰梯形的性質(zhì)，等邊三角形的判定，菱形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)．關(guān)鍵是根據(jù)題意得出圖形中的相等線段及特殊圖形．