Question

如圖1，直線AB分別交坐標(biāo)軸交于A（-1，0）、B（0，1）兩點(diǎn)，與反比例函數(shù)y=

m

x

（x＞0）的圖象交于點(diǎn)C（2，n）．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）如圖2，在y軸上取點(diǎn)D（0，3），點(diǎn)E為直線x=1上的一動(dòng)點(diǎn)，則x軸上是否存在一點(diǎn)F，使D、B、F、E四點(diǎn)所圍成的四邊形周長(zhǎng)最��？若存在，求出這個(gè)最小值及點(diǎn)E、F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）如圖3，將直線y=-x向上平移，與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)P、Q，與y=

m

x

（x＞0）相交于點(diǎn)M、N，若MN=5PM，求直線PQ的解析式．

Answer 1

分析：（1）先利用待定系數(shù)法確定直線AB的解析式為y=x+1，再把點(diǎn)C（2，n）代入y=x+1求出n，則C點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3），然后利用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)解析式；
（2）作B點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，則B′（0，-1），連結(jié)CB′交直線x=1于E點(diǎn)，x交軸于F，根據(jù)D點(diǎn)與C點(diǎn)坐標(biāo)得到點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于直線x=1對(duì)稱，則ED=EC，由B點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′得到FB=FB′，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得到此時(shí)四邊形BFED的周長(zhǎng)為D、B、F、E四點(diǎn)所圍成的四邊形周長(zhǎng)的最小值，然后根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式計(jì)算出CB′=2

5

，從而得到最小周長(zhǎng)=2+2

5

；再待定系數(shù)法求出直線CB′的解析式為y=2x-1，則把x=1或y=0分別代入y=2x-1可得到E點(diǎn)和F點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）過(guò)點(diǎn)M、N分別作x軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)H、Q，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到OH：HG=MP：MN，而MN=5PM，所以HG=5OH，設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（t，

6

t

），則N（6t，

1

t

），設(shè)直線PQ的解析式為y=-x+p，然后M點(diǎn)、N點(diǎn)坐標(biāo)代入得到關(guān)于t與p的方程組，再解方程組即可．

解答：解：（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
把（-1，0）、B（0，1）代入得

-k+b=0 b=1

，解得

k=1 b=1

，
∴直線AB的解析式為y=x+1，
把點(diǎn)C（2，n）代入y=x+1得n=2+1=3，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3），
把點(diǎn)C（2，3）代入y=

k

x

得k=2×3=6，
∴反比例函數(shù)解析式為y=

6

x

；

（2）存在．
作B點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，則B′（0，-1），連結(jié)CB′交直線x=1于E點(diǎn)，x交軸于F，如圖2，
∵D（0，3），C（2，3），
∴點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于直線x=1對(duì)稱，
∴ED=EC，
∵B點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，
∴FB=FB′，
∴此時(shí)D、B、F、E四點(diǎn)所圍成的四邊形周長(zhǎng)最小，最小值=BD+BF+FE+EC=BD+B′C=2+

(2-0)2+(3+1)2

=2+2

5

；
設(shè)直線CB′的解析式為y=mx+n，
把C（2，3）、B′（0，-1）代入

2m+n=3 n=-1

，解得

m=2 n=-1

，
∴直線CB′的解析式為y=2x-1，
當(dāng)x=1時(shí)，則y=2-1=1；當(dāng)y=0時(shí)，2x-1=0，解得x=

1

2

，
∴點(diǎn)E坐標(biāo)為（1，1），點(diǎn)F坐標(biāo)為（

1

2

，0）；

（3）過(guò)點(diǎn)M、N分別作x軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)H、Q，如圖3，
∵OP∥MH∥NG，
∴OH：HG=MP：MN，
而MN=5PM，
∴HG=5OH，
設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（t，

6

t

），則N（6t，

1

t

），
設(shè)直線PQ的解析式為y=-x+p，
∵M(jìn)（t，

6

t

），N（6t，

1

t

）在直線PQ上，
∴

-t+p= 6 t -6t+p= 1 t

，解得

t=1 p=7

或

t=-1 p=-5

（舍去），
∴直線PQ的解析式為y=-x+7．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和平行線分線段成比例定理；運(yùn)用兩點(diǎn)之間線段最短解決最短路徑問(wèn)題；熟練運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算線段的長(zhǎng)．