Question

如圖，分別以Rt△ABC的斜邊AB、直角邊AC為邊向外作等邊△ABD和△ACE，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，連接DF、EF、DE，EF與AC交于點(diǎn)O，DE與AB交于點(diǎn)G，連接OG，若∠BAC=30°，下列結(jié)論：①△DBF≌△EFA；②AD=AE；③EF⊥AC；④AD=4AG；⑤△AOG與△EOG的面積比為1：4．
其中正確結(jié)論的個數(shù)是（　�。�

A．2個

B．3個

C．4個

D．5個

Answer 1

分析：根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和已知先證△ABC≌△EFA，判斷出③正確；再證△DBF≌△EFA，判斷出①②；根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)即可判斷出④，根據(jù)三角形的面積和等高的三角形的面積比等于對應(yīng)的邊之比即可求出△AOG與△EOG的面積比為1：3，即可判斷出⑤．

解答：解∵△ACE是等邊三角形
∴∠EAC=60°，AE=AC，
∵∠BAC=30°，
∴∠FAE=∠ACB=90°，AB=2BC
∵F為AB的中點(diǎn)，
∴AB=2AF，
∴BC=AF，
∴△ABC≌△EFA，
∴∠AEF=∠BAC=30°，
∴∠AOE=180°-30°-60°=90°，∴③正確；
∵AD=BD，BF=AF，
∴∠DFB=90°，∠BDF=30°，
∵∠FAE=∠BAC+∠CAE=90°，
∴∠DFB=∠EAF，
∵EF⊥AC，
∴∠AEF=30°，
∴∠BDF=∠AEF，
∴△DBF≌△EFA（AAS），∴①正確；
∵△DBF≌△EFA，
∴AE=DF，
在Rt△ADF中，斜邊AD＞直角邊DF，
即AD＞AE，∴②錯誤；
∵△ADB是等邊三角形，
∴AD=DB，∠ADB=60°，
∵F為AB中點(diǎn)，
∴∠ADF=30°，
∴AD=2AF，
∵△BDF≌△FAE，
∴AE=DF，EF=BD=AD，
∴四邊形DFEA是平行四邊形，
∴AF=2AG=2FG，
∴AD=2AF=4AG，∴④正確；
設(shè)OF=a，
∵EF⊥AC，
∴∠AOF=90°，
∵∠CAB=30°，
∴AF=2a，
∵∠AFO=∠AFO，∠AOF=∠FAE=90°，
∴△FAO∽△FEA，
∴

AF

FO

=

EF

AF

，
∴

2a

a

=

EF

2a

，
∴EF=4a，
∴EO=4a-a=3a，
∵△FGO的邊FO上的高和△EOG的邊EO上的高相等，
∴S_△EOG=3S_△FOG，
∵AG=GF，△AOG的邊AG上的高和△FOG的邊FG上的高相等，
∴S_△AOG=S_△FOG，
即△AOG與△EOG的面積比為1：3，∴⑤錯誤；
故選B．

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，對應(yīng)三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)，三角形的面積，相似三角形的性質(zhì)和判定，含30度角的直角三角形性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和判定等知識點(diǎn)的綜合運(yùn)用．