Question

已知如下圖，△ABC中，∠C＝90°，P是AB上一點，且點P不與點A重合，過點P作PE⊥AB交AC邊于點E，點E不與點C重合，若AB＝10，AC＝8，設(shè)AP的長為x，四邊形PECB的周長為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求自變量的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

簡解：根據(jù)勾股定理得BC＝6． 　　∵∠EPA＝∠BCA＝90°，∠A為公共角， 　　∴△AEP∽△ABC， 　　∴＝＝， 　　即＝＝， 　　∴AE＝x，PE＝x， 　　∴EC＝8－x，BP＝10－x 　　∴y＝PE＋EC＋CB＋BP＝x＋8－x＋6＋10－x＝－x＋24． 　　若點E與點C重合，根據(jù)雙垂直圖形性質(zhì)，可得CA2＝AP·AB，求得AP＝． 　　因點P與點A不重合，點E與點C不重合，因此自變量x的取值范圍是0＜x＜． 　　∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝－x＋24(0＜x＜)． 　　分析：由勾股定理可知BC＝6，又知BP＝AB－AP＝10－x，只需把PE、EC用數(shù)量或含自變量x的代數(shù)式表示出來，四邊形PECB的周長y與x之間的函數(shù)關(guān)系式便確定了．通過△AEP∽△ABC的三邊對應(yīng)成比例可達到預(yù)想的目的．