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        1. 精英家教網(wǎng)如圖,矩形ABCD中,AB=6,BC=2
          3
          ,點O是AB的中點,點P在AB的延長線上,且BP=3.一動點E從O點出發(fā),以每秒1個單位長度的速度沿OA勻速運動,到達A點后,立即以原速度沿AO返回;另一動點F從P點出發(fā),以每秒1個單位長度的速度沿射線PA勻速運動,點E、F同時出發(fā),當(dāng)兩點相遇時停止運動,在點E、F的運動過程中,以EF為邊作等邊△EFG,使△EFG和矩形ABCD在射線PA的同側(cè).設(shè)運動的時間為t秒(t≥0).
          (1)當(dāng)?shù)冗叀鱁FG的邊FG恰好經(jīng)過點C時,求運動時間t的值;
          (2)在整個運動過程中,設(shè)等邊△EFG和矩形ABCD重疊部分的面積為S,請直接寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式和相應(yīng)的自變量t的取值范圍;
          (3)設(shè)EG與矩形ABCD的對角線AC的交點為H,是否存在這樣的t,使△AOH是等腰三角形?若存在,求出對應(yīng)的t的值;若不存在,請說明理由.
          分析:(1)當(dāng)邊FG恰好經(jīng)過點C時,∠CFB=60°,BF=3-t,在Rt△CBF中,解直角三角形可求t的值;
          (2)按照等邊△EFG和矩形ABCD重疊部分的圖形特點,分為0≤t<1,1≤t<3,3≤t<4,4≤t<6四種情況,分別寫出函數(shù)關(guān)系式;
          (3)存在.當(dāng)△AOH是等腰三角形時,分為AH=AO=3,HA=HO,OH=OA三種情況,分別畫出圖形,根據(jù)特殊三角形的性質(zhì),列方程求t的值.
          解答:解:(1)當(dāng)邊FG恰好經(jīng)過點C時,∠CFB=60°,BF=3-t,在Rt△CBF中,BC=2
          3
          ,tan∠CFB=
          BC
          BF

          即tan60°=
          2
          3
          3-t
          ,即
          3
          =
          2
          3
          3-t
          ,
          解得t=1,精英家教網(wǎng)
          ∴當(dāng)邊FG恰好經(jīng)過點C時,t=1;

          (2)如圖1,過點M作MN⊥AB于點N,
          當(dāng)0≤t<1時,
          ∵tan60°=
          MN
          EN
          =
          2
          3
          NE
          =
          3
          ,
          ∴EN=2,
          EB=3+t,NB=3+t-2=1+t,
          ∴MC=1+t,
          S=
          1
          2
          (MC+EB)×BC=2
          3
          t+4
          3
          ;
          精英家教網(wǎng)
          如圖2,當(dāng)1≤t<3時,
          ∵MN=2
          3
          ,EF=OP=6,
          ∴GH=6×
          3
          2
          =3
          3

          MK
          EF
          =
          GH-MN
          GH
          ,
          ∴MK=2,
          ∵EB=3+t,BF=3-t,BQ=
          3
          BF=
          3
          (3-t),
          CQ=2
          3
          -BQ=
          3
          t-
          3
          ,
          ∴S=S梯形MKFE-S△QBF=-
          3
          2
          t2+3
          3
          t+
          7
          3
          2



          當(dāng)3≤t<4時,精英家教網(wǎng)
          ∵MN=2
          3
          ,EF=6-2(t-3)=12-2t,
          ∴GH=(12-2t)×
          3
          2
          =6
          3
          -
          3
          t,
          MK
          EF
          =
          GH-MN
          GH
          ,
          ∴MK=8-2t,
          S=-4
          3
          t+20
          3
          ;

          如圖4,當(dāng)4≤t<6時,
          ∵EF=12-2t,
          高為:EF•sin60°=
          3
          2
          EF,精英家教網(wǎng)
          S=
          3
          t2-12
          3
          t+36
          3

          綜上所述,S=
          2
          3
          t+4
          3
          (0≤t<1)
          -
          3
          2
          t2+3
          3
          t+
          7
          3
          2
          (1≤t<3)
          -4
          3
          t+20
          3
          (3≤t<4)
          3
          t2-12
          3
          t+36
          3
          (4≤t<6)
          ;

          (3)存在.
          理由如下:在Rt△ABC中,tan∠CAB=
          BC
          AB
          =
          3
          3
          ,
          ∴∠CAB=30°,
          又∵∠HEO=60°,
          ∴∠HAE=∠AHE=30°,
          ∴AE=HE=3-t或t-3,精英家教網(wǎng)
          1)當(dāng)AH=AO=3時,(如圖5),過點E作EM⊥AH于M,
          則AM=
          1
          2
          AH=
          3
          2
          ,
          在Rt△AME中,cos∠MAE=
          AM
          AE
          ,
          即cos30°=
          3
          2
          AE

          ∴AE=
          3
          ,即3-t=
          3
          或t-3=
          3

          ∴t=3-
          3
          或t=3+
          3
          ,

          2)當(dāng)HA=HO時,(如圖6)則∠HOA=∠HAO=30°,精英家教網(wǎng)
          又∵∠HEO=60°,
          ∴∠EHO=90°,EO=2HE=2AE,
          又∵AE+EO=3,
          ∴AE+2AE=3,AE=1,
          即3-t=1或t-3=1,
          ∴t=2或t=4;

          3)當(dāng)OH=OA時,(如圖7),則∠OHA=∠OAH=30°,精英家教網(wǎng)
          ∴∠HOB=60°=∠HEB,
          ∴點E和點O重合,
          ∴AE=AO=3,
          當(dāng)E剛開始運動時3-t=3,
          當(dāng)點E返回O時是:t-3=3,
          即3-t=3或t-3=3,t=6(舍去)或t=0;

          綜上所述,存在5個這樣的t值,使△AOH是等腰三角形,即t=3-
          3
          或t=3+
          3
          或t=2或t=4或t=0.
          點評:本題考查了特殊三角形、矩形的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì),解直角三角形的有關(guān)知識.關(guān)鍵是根據(jù)特殊三角形的性質(zhì),分類討論.
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          精英家教網(wǎng)如圖,矩形ABCD中,AB=6,BC=8,M是BC的中點,DE⊥AM,E是垂足,則△ABM的面積為
           
          ;△ADE的面積為
           

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          精英家教網(wǎng)如圖,矩形ABCD中,AD=a,AB=b,要使BC邊上至少存在一點P,使△ABP、△APD、△CDP兩兩相似,則a、b間的關(guān)系式一定滿足( 。
          A、a≥
          1
          2
          b
          B、a≥b
          C、a≥
          3
          2
          b
          D、a≥2b

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          7、如圖,矩形ABCD中,AE⊥BD,垂足為E,∠DAE=2∠BAE,則∠CAE=
          30
          °.

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          3
          3
          cm.

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