Question

11．二次函數(shù)y=x²-2ax+2a+3分別滿足下列條件時(shí)，求a的取值范圍．
（1）拋物線過原點(diǎn)；
（2）拋物線的頂點(diǎn)在x軸上；
（3）函數(shù)的最小值是3；
（4）當(dāng)x＞3時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x＜3時(shí)，y隨x的增大而減小．

Answer 1

分析 （1）拋物線過原點(diǎn)，也就是2a+3=0，求得a的數(shù)值即可；
（2）由頂點(diǎn)坐標(biāo)在x軸上可知其最小值為0，即當(dāng)x=a時(shí)，y有最小值0，代入可求得a；
（3）當(dāng)x=a時(shí)，y有最小值3，代入可求得a；
（4）由條件可知其對(duì)稱軸為x=3，代入x=-$\frac{2a}$可求得a的值．

解答 解：二次函數(shù)y=x²-2ax+2a+3開口向上，對(duì)稱軸方程為x=a，所以當(dāng)x=a時(shí)有最小值，最小值為y=-a²+2a+3，
（1）拋物線過原點(diǎn)，則2a+3=0，a=-$\frac{3}{2}$；
（2）當(dāng)頂點(diǎn)在x軸上時(shí)，可知其最小值為0，則有-a²+2a+3=0，解得a=3或-1，
所以當(dāng)a=3或-1時(shí)，拋物線的頂點(diǎn)在x軸上；
（3）當(dāng)最小值是3時(shí)，即-a²+2a+3=3，解得a=0或a=2，
所以當(dāng)a=0或2時(shí)，二次函數(shù)的最小值為3；
（4）當(dāng)x＞3時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x＜3時(shí)，y隨x的增大而減小，可知二次函數(shù)對(duì)稱軸為x=3，
即a=3，所以當(dāng)a=3時(shí)，二次函數(shù)滿足當(dāng)x＞3時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x＜3時(shí)，y隨x的增大而減�。�

點(diǎn)評(píng) 此題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的最值、對(duì)稱軸的求法以及函數(shù)的增減性是解題的關(guān)鍵．