Question

如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，BD=CD，∠BDC=120°，E、F飛別在AB、AC上，且∠EDF=60°．
（1）證明：BE+CF=EF；
（2）求△AEF的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）延長(zhǎng)AB到N，使BN=CF，連接DN，求出∠FCD=∠EBD=∠NBD=90°，根據(jù)SAS證△NBD≌△FCD，推出DN=DF，∠NDB=∠FDC，求出∠EDF=∠EDN，根據(jù)SAS證△EDF≌△EDN，推出EF=EN，即可得出答案．
（2）由（1），易得△AEF的周長(zhǎng)等于AB+AC．

解答：（1）證明：延長(zhǎng)AB到N，使BN=CF，連接DN，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵BD=CD，∠BDC=120°，
∴∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠ACD=∠ABD=30°+60°=90°=∠NBD，
∵在△NBD和△FCD中，

BD=DC  ∠NBD=∠FCD=90°  BN=CF

，
∴△NBD≌△FCD（SAS），
∴DN=DF，∠NDB=∠FDC，
∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，
∴∠EDB+∠FDC=60°，
∴∠EDB+∠BDN=60°，
即∠EDF=∠EDN，
在△EDN和△EDF中，

DE=DE  ∠EDF=∠EDN  DN=DF

，
∴△EDN≌△EDF（SAS），
∴EF=EN=BE+BN=BE+CF，
即BE+CF=EF．

（2）解：∵△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，
∴AB=AC=2，
∵BE+CF=EF，
∴△AEF的周長(zhǎng)為：AE+EF+AF=AE+EB+FC+AF=AB+AC=4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，全等三角形的性質(zhì)和判定的綜合運(yùn)用．注意掌握輔助線(xiàn)的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．