Question

已知：如圖，正方形ABCD中，點E在AB上，點F在AD上，且AE=

1

4

AB，F(xiàn)是AD的中點，求證：△CEF是直角三角形．

Answer 1

分析：由四邊形ABCD為正方形，根據(jù)正方形的性質得到四條邊相等，四個角為直角，根據(jù)F為AD中點，得到AF與DF相等都等于正方形邊長的一半，進而得到DF等于DA的一半，又根據(jù)已知的AE等于正方形邊長的四分之一，AF為邊長的二分之一，等量代換得到AE等于AF的一半，有兩對對應邊成比例，且夾角相等的兩三角形相似可得三角形AEF與三角形BFC相似，由相似得到對應角相等可得∠AEF=∠BFC，在直角三角形AEF中，兩銳角互余，等量代換得到∠BFC+∠AFE=90°，再根據(jù)平角的定義可得∠EFC=90°，得證．

解答：證明：∵正方形ABCD，
∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠D=90°，
∵F是AD的中點，∴AF=DF=

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2

AB=

1

2

DC，
又AE=

1

4

AB=

1

4

DC，∴AE=

1

2

AF，
∴

AE

FD

=

AF

DC

，且∠A=∠D=90°，
∴△AEF∽△DFC，
∴∠AEF=∠DFC，又∠AEF+∠AFE=90°，
∴∠DFC+∠AFE=90°，即∠EFC=90°，
∴△CEF是直角三角形．

點評：此題考查了正方形的性質，以及相似三角形的判定與性質，相似三角形的判別方法有：1、兩對對應角相等的兩三角形相似；2、兩邊對應成比例，且夾角相等的兩三角形相似；3、三邊對應成比例的兩三角形相似，本題利用的是第二種方法．