Question

 已知，凸4n＋2邊形A₁A₂…A_4n+2（n是非零自然數(shù)）各內(nèi)角都是30°的整數(shù)倍,

又關(guān)于x的方程

① ②③

     

  均有實(shí)根，求這凸4n＋2邊形各內(nèi)角的度數(shù).

   

Answer 1

解析  ∵各內(nèi)角只能是30°,60°,90°,120°,150°,

    ∴正弦值只能取,,1.

    若sinA₁=,∵sinA₂≥,sinA₃≥,

∴ 方程①的判別式△₁=4(sin²A₁-sinA₂)≤4(-)<0.

方程①無(wú)實(shí)根,與已知矛盾,

故sinA₁≠.

    同理sinA₂≠,sinA₃≠;

    若sinA₁=,則sinA₂≥,sinA₃≥,

    ∴方程①的判別式△₁=4(sin²A₁-sinA₂)=4·(-)<0,方程①無(wú)實(shí)根,與已知矛盾.

    ∴sinA₁≠,同理sinA₂≠,sinA₃≠.

    綜上,sinA₁=1,A₁=90°.

    這樣,其余4n-1個(gè)內(nèi)角之和為 4n×180°-3×90°=720°·n-270°,這些角均不大于150°,

    ∴720°·n-270°≤(4n-1)·150°,故n≤1.

    又n為正整數(shù),∴n=1.即多邊形為凸六邊形,且A₄+A₅+A₆=4×180°-3×90°=450°.

    ∵A₄,A₅,A₆≤150°,

    ∴A₄=A₅=A₆=150°.