Question

（2013•懷化）已知函數(shù)y=kx²-2x+

3

2

（k是常數(shù)）
（1）若該函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，求k的值；
（2）若點(diǎn)M（1，k）在某反比例函數(shù)的圖象上，要使該反比例函數(shù)和二次函數(shù)y=kx²-2x+

3

2

都是y隨x的增大而增大，求k應(yīng)滿足的條件以及x的取值范圍；
（3）設(shè)拋物線y=kx²-2x+

3

2

與x軸交于A（x₁，0），B（x₂，0）兩點(diǎn)，且x₁＜x₂，x₁²+x₂²=1．在y軸上，是否存在點(diǎn)P，使△ABP是直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P及△ABP的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）本問(wèn)注意分類討論：若k=0，函數(shù)為一次函數(shù)；若k≠0，函數(shù)為二次函數(shù)，根據(jù)其△=0求解即可；
（2）根據(jù)反比例函數(shù)和二次函數(shù)的增減性，綜合確定k應(yīng)滿足的條件和x的取值范圍；
（3）由題意，首先根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，求出k的值；從而得到拋物線的解析式，畫出拋物線的大致圖象，以AB為直徑作圓，圓與y軸的兩個(gè)交點(diǎn)即為所求之點(diǎn)P；最后利用相似三角形求出點(diǎn)P的坐標(biāo)和△ABP的面積．

解答：解：（1）若k=0，則y=-2x+

3

2

是一次函數(shù)，與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，滿足條件；
若k≠0，則y=kx²-2x+

3

2

（k≠0）是二次函數(shù)，
由△=b²-4ac=4-6k=0，得k=

2

3

．
∴k=0或

2

3

．


（2）設(shè)反比例函數(shù)解析式為：y=

m

x

，
∵點(diǎn)M（1，k）在反比例函數(shù)圖象上，
∴m=k．
∴y=

k

x

．
由反比例函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)y隨x的增大而增大時(shí)，須滿足條件：k＜0，x≠0．
二次函數(shù)y=kx²-2x+

3

2

，拋物線開口向下，其對(duì)稱軸為直線x=

1

k

，
當(dāng)y隨x的增大而增大時(shí)，須滿足條件：k＜0，x＜

1

k

．
綜上所述，要使該反比例函數(shù)和二次函數(shù)都是y隨x的增大而增大，須滿足條件：k＜0，x＜

1

k

．


（3）存在．
拋物線解析式為：y=kx²-2x+

3

2

，
令y=0，即kx²-2x+

3

2

=0，
∴x1+x2=

2

k

，x1x2=

3

2k

．
∵x₁²+x₂²=1，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=1，即：（

2

k

）²-2•

3

2k

=1
整理得：k²+3k-4=0，
解得：k=-4或k=1．
又∵拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴△=4-6k＞0，解得k＜

2

3

，
∴k=1不符合題意，舍去，∴k=-4．
∴拋物線的解析式為：y=-4x²-2x+

3

2

=-4（x+

1

4

）²+

7

4

．
令y=0，解得x=

-1± 7

4

，
∴A（

-1- 7

4

，0），B（

-1+ 7

4

，0）．
畫出函數(shù)大致圖象如下，則OA=

1+ 7

4

，OB=

-1+ 7

4

，AB=

7

2

．

以AB為直徑作圓，由圖象可見(jiàn)，圓與y軸的交點(diǎn)有2個(gè)，因此所求的點(diǎn)P有兩個(gè)．
連接PA、PB，易證△PAO∽△BPO，
∴

OP

OB

=

OA

OP

，
∴OP²=OA•OB=

1+ 7

4

×

-1+ 7

4

=

3

8

，∴OP=

6

4

．
S_△ABP=

1

2

AB•OP=

1

2

×

7

2

×

6

4

=

42

16

．
綜上所述，存在兩個(gè)滿足條件的點(diǎn)P．點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，

6

4

）或（0，-

6

4

），△ABP的面積為

42

16

．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、反比例函數(shù)、一元二次方程、根與系數(shù)關(guān)系、根的判別式、相似三角形等知識(shí)點(diǎn)，有一定的難度．第（1）問(wèn)中，須分一次函數(shù)、二次函數(shù)進(jìn)行討論；第（3）問(wèn)中，滿足條件的點(diǎn)P有兩個(gè)，容易漏解．可見(jiàn)分類討論思想是本題考查重點(diǎn)，也是易失分點(diǎn)．