Question

附加題：
如圖，在直角坐標系中，點O₁在x軸上，⊙O₁與x軸交于點A（

2

-1，0），B（

2

+1，0）．直線y=x+1與坐標軸交于C、D兩點，直線在⊙O₁的左側(cè)．
（1）求△DOC的面積；
（2）當直線向右平移，第一次與⊙O₁相切時，求直線的解析式．

Answer 1

分析：（1）先由直線的解析式y(tǒng)=x+1求出C、D兩點的坐標，再根據(jù)三角形的面積公式即可求解；
（2）先由直線平移不改變斜率，設出所求直線l的解析式為y=x+b，過點O₁作O₁M⊥l于M，根據(jù)切線的性質(zhì)得出O₁M等于⊙O₁的半徑1，再由互相垂直的兩條直線的斜率之積為-1，可知直線O₁M的斜率為-1．設直線O₁M的解析式為y=-x+t，將O₁點的坐標（

2

，0）代入，運用待定系數(shù)法求出直線O₁M的解析式，將它與所求直線l的解析式y(tǒng)=x+b聯(lián)立，得出用含b的代數(shù)式表示兩直線的交點M的坐標，然后根據(jù)O₁M=1列出關(guān)于b的方程，解方程即可．

解答：解：（1）如圖．
∵直線y=x+1與坐標軸交于C、D兩點，
∴點C的坐標為（0，1），點D的坐標為（-1，0），
∴△DOC的面積為：

1

2

×OC×OD=

1

2

×1×1=

1

2

；

（2）如圖，當直線y=x+1向右平移，第一次與⊙O₁相切時，設所求直線l的解析式為y=x+b，過點O₁作O₁M⊥l于M，則O₁M=

1

2

AB=1．
∵互相垂直的兩條直線的斜率之積為-1，
∴直線O₁M的斜率為-1．
設直線O₁M的解析式為y=-x+t，
將O₁點的坐標（

2

，0）代入，
得-

2

+t=0，解得t=

2

，
則直線O₁M的解析式為y=-x+

2

．
解方程組

y=x+b y=-x+ 2

，得

x= 2 -b 2 y= 2 +b 2

，
所以點M的坐標為（

2 -b

2

，

2 +b

2

）．
∵O₁M=1，
∴（

2

-

2 -b

2

）²+（

2 +b

2

）²=1，
解得b₁=0，b₂=-2

2

（不合題意，舍去）．
故所求直線的解析式為y=x．

點評：本題是一次函數(shù)的綜合題型，涉及到求直線與坐標軸的交點，計算三角形的面積，用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，運用切線的性質(zhì)及兩點間的距離公式，求兩直線的交點坐標，直線平移的性質(zhì)等知識，綜合性較強，有一定難度．