Question

如圖，直線l₁∥l₂，⊙O與l₁和l₂分別相切于點(diǎn)A和點(diǎn)B，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是l₁和l₂上的動(dòng)點(diǎn)，MN沿l₁和l₂平移，若⊙O的半徑為1，∠AMN=60°，則下列結(jié)論不正確的是（　　）

• A、l₁和l₂的距離為2
• B、當(dāng)MN與⊙O相切時(shí)，AM=

  3

• C、MN=

  4

  3

  3

• D、當(dāng)∠MON=90°時(shí)，MN與⊙O相切

Answer 1

分析：連結(jié)OA、OB，根據(jù)切線的性質(zhì)和l₁∥l₂得到AB為⊙O的直徑，則l₁和l₂的距離為2；當(dāng)MN與⊙O相切，連結(jié)OM，ON，當(dāng)MN在AB左側(cè)時(shí)，根據(jù)切線長(zhǎng)定理得∠AMO=∠AMN=30°，在Rt△AMO中，利用正切的定義可計(jì)算出AM=

3

，在Rt△OBN中，由于∠ONB=∠BNM=60°，可計(jì)算出BN=

3

3

，當(dāng)MN在AB右側(cè)時(shí)，AM=

3

3

，所以AM的長(zhǎng)為

3

或

3

3

；當(dāng)∠MON=90°時(shí)，作OE⊥MN于E，延長(zhǎng)NO交l₁于F，易證得Rt△OAF≌Rt△OBN，則OF=ON，于是可判斷MO垂直平分NF，
所以O(shè)M平分∠NOF，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得OE=OA，然后根據(jù)切線的判定定理得到MN為⊙O的切線．

解答：解：連結(jié)OA、OB，如圖1，
∵⊙O與l₁和l₂分別相切于點(diǎn)A和點(diǎn)B，
∴OA⊥l₁，OB⊥l₂，
∵l₁∥l₂，
∴點(diǎn)A、O、B共線，
∴AB為⊙O的直徑，
∴l(xiāng)₁和l₂的距離為2；
作NH⊥AM于H，如圖1，
則MN=AB=2，
∵∠AMN=60°，
∴sin60°=

NH

MN

，
∴MN=

2

3 2

=

4 3

3

；
當(dāng)MN與⊙O相切，如圖2，連結(jié)OM，ON，
當(dāng)MN在AB左側(cè)時(shí)，∠AMO=∠AMN=

1

2

×60°=30°，
在Rt△AMO中，tan∠AMO=

OA

AM

，即AM=

1

3 3

=

3

，
在Rt△OBN中，∠ONB=∠BNM=60°，tan∠ONB=

OB

BN

，即BN=

1

3

=

3

3

，
當(dāng)MN在AB右側(cè)時(shí)，AM=

3

3

，
∴AM的長(zhǎng)為

3

或

3

3

；
當(dāng)∠MON=90°時(shí)，作OE⊥MN于E，延長(zhǎng)NO交l₁于F，如圖2，
∵OA=OB，
∴Rt△OAF≌Rt△OBN，
∴OF=ON，
∴MO垂直平分NF，
∴OM平分∠NOF，
∴OE=OA，
∴MN為⊙O的切線．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定與性質(zhì)：過(guò)半徑的外端點(diǎn)與半徑垂直的直線為圓的切線；圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．