Question

【題目】平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（3，4），點(diǎn)B（6，0）．

（1）如圖①，求AB的長(zhǎng)；

（2）如圖2，把圖①中的△ABO繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M恰好落在OA的延長(zhǎng)線上，N是點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；

①求證：四邊形AOBN是平行四邊形；

②求點(diǎn)N的坐標(biāo)．

（3）點(diǎn)C是OB的中點(diǎn)，點(diǎn)D為線段OA上的動(dòng)點(diǎn)，在△ABO繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是P，求線段CP長(zhǎng)的取值范圍．（直接寫出結(jié)果）

Answer 1

【答案】（1）AB的長(zhǎng)是5；（2）①見解析；②點(diǎn)N坐標(biāo)為（9，4）；（3）線段CP長(zhǎng)的取值范圍為≤CP≤9．

【解析】

（1）根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中任意兩點(diǎn)的距離公式計(jì)算即可；

（2）①根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中任意兩點(diǎn)的距離公式計(jì)算出OA，從而得出OA=AB，然后根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠AOB=∠ABO，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BM=BO，BN=BA，∠MBN=∠ABO=∠AOB，然后證出AO∥BN且AO=BN即可證出結(jié)論；

②證出AN∥x軸，再結(jié)合平行四邊形的邊長(zhǎng)和點(diǎn)A的坐標(biāo)即可得出結(jié)論；

（3）連接BP，根據(jù)題意，先根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上時(shí)，CP=BP-BC最短；當(dāng)點(diǎn)P在線段OB延長(zhǎng)線上時(shí)，CP=BP+BC最長(zhǎng)，然后求出BP的最小值和最大值即可求出CP的最值，從而得出結(jié)論．

（1）∵點(diǎn)A（3，4），點(diǎn)B（6，0）

∴AB==5

∴AB的長(zhǎng)是5．

（2）①證明：∵OA==5

∴OA=AB

∴∠AOB=∠ABO

∵△ABO繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△NBM

∴BM=BO，BN=BA，∠MBN=∠ABO=∠AOB

∴∠OMB=∠AOB，OA=BN

∴∠OMB=∠MBN

∴AO∥BN且AO=BN

∴四邊形AOBN是平行四邊形

②如圖1，連接AN

∵四邊形AOBN是平行四邊形

∴AN∥OB即AN∥x軸，AN=OB=6

∴xN=xA+6=3+6=9，yN=yA=4

∴點(diǎn)N坐標(biāo)為（9，4）

（3）連接BP

∵點(diǎn)D為線段OA上的動(dòng)點(diǎn)，OA的對(duì)應(yīng)邊為MN

∴點(diǎn)P為線段MN上的動(dòng)點(diǎn)

∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是以B為圓心，BP長(zhǎng)為半徑的圓

∵C在OB上，且CB=OB=3

∴當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上時(shí)，CP=BP-BC最短；當(dāng)點(diǎn)P在線段OB延長(zhǎng)線上時(shí)，CP=BP+BC最長(zhǎng)

如圖2，當(dāng)BP⊥MN時(shí)，BP最短

∵S△NBM=S△ABO，MN=OA=5

∴MNBP=OByA

∴BP=

∴CP最小值=-3=

當(dāng)點(diǎn)P與M重合時(shí)，BP最大，BP=BM=OB=6

∴CP最大值=6+3=9

∴線段CP長(zhǎng)的取值范圍為≤CP≤9．