Question

【題目】如圖1，在半徑為2的扇形AOB中，∠AOB=90°，點C是上的一個動點（不與點A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分別為點D、點E．

（1）當BC=1時，求線段OD的長；

（2）在點C的運動過程中，△DOE中是否存在長度保持不變的邊或度數保持不變的角？如果存在，請指出并求其長度或度數（只求一種即可）；如果不存在，請說明理由；

（3）作DF⊥OE于點F（如圖2），當DF 2+EF取得最大值時，求sin∠BOD的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，DE的長度是不變的。證明見解析；（3）

【解析】（1）根據垂徑定理，可得BD的長度，根據勾股定理，可得答案；
（2）根據勾股定理，可得AB的長度，根據三角形的中位線，可得答案，根據垂徑定理，可得圓心角相等，根據角的和差，可得答案；
（3）根據勾股定理，可得DF2，根據二次函數的最值，可得DF的長度，根據等腰直角三角形的性質，可得OD的長度，根據正弦的含義，可得答案．

解：（1）∵點O是圓心，OD⊥BC，BC=1，

∴BD=BC=．

又∵OB=2，

∴．

（2）解：存在，DE的長度是不變的．

如圖，連結AB，

則．

∵點D、點E分別是BC、AC的中點，

∴DE=AB=．

解法二：

存在，∠DOE的度數是不變的。

如圖，連結OC，

可得∠1=∠2，∠3=∠4，

∵∠AOB=900

∴∠2+∠3=45°即∠DOE=45°，

（3）解法一：

如圖，

設BD=x，則OD2=4-x2

由（2）解法二，可知∠DOE=45°，

∴△DOF是等腰直角三角形，

∴ ∴

在Rt△DFE中，由（2）解法一，可知DE=

∴DF 2+EF =

∴當，即BD 時，DF 2+EF取得最大值，

此時，。

解法二：

如圖，

設EF=x，由（2）解法一，可知DE=

在Rt△DFE中，

∴DF 2+EF =

∴當，即EF時，DF 2+EF取得最大值，

此時，DF

由（2）解法二，可知∠DOE=45°，

∴△DOF是等腰直角三角形，

∴OD

在Rt△BOD中，

∴。