Question

已知正方形ABCD，邊長為3，對角線AC，BD交點O，直角MPN繞頂點P旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別與線段AB，AD交于點M，N（不與點B，A，D重合），設(shè)DN=x，四邊形AMPN的面積為y，在下面情況下，y隨x的變化而變化嗎？若不變，請求出面積y的值；若變化，請求出y與x的關(guān)系式。
（1）如圖1，點P與點O重合；
（2）如圖2，點P在正方形的對角線AC上，且AP=2PC；
（3）如圖3，點P在正方形的對角線BD上，且DP=2PB。

Answer 1

解：（1）當(dāng)x變化時，y不變．如圖1，；
（2）當(dāng)x變化時，y不變， 如圖2，作OE⊥AD于E，OF⊥AB于F， ∵AC是正方形ABCD的對角線， ∴∠BAD=90°，AC平分∠BAD， ∴四邊形AFPE是矩形，PF=PE， ∴四邊形AFPE是正方形， ∵∠ADC=90°， ∴PE∥CD， ∴△APE∽△ACD， ∴， ∵AP=2PC，CD=3， ∴， ∴PE=2， ∵∠FPE=90°，∠MPN=90°， ∴∠FPN+∠NPE=90°，∠FPN+∠MPF=90°， ∴∠NPE=∠MPF， ∵∠PEN=∠PFM=90°，PE=PF， ∴△PEN≌△PFM， ∴；
（3）x變化，y變化, 如圖3，，0<x＜3。