Question

已知拋物線y=-x²+2mx-m²-m+2．
（1）判斷拋物線的頂點與直線L：y=-x+2的位置關(guān)系；
（2）設該拋物線與x軸交于M、N兩點，當OM•ON=4，且OM≠ON時，求出這條拋物線的解析式；
（3）直線L交x軸于點A，（2）中所求拋物線的對稱軸與x軸交于點B．那么在對稱軸上是否存在點P，使⊙P與直線L和x軸同時相切？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線y=-x²+2mx-m²-m+2=-（x-m）²-m+2，得出頂點坐標代入一次函數(shù)解析式即可；
（2）利用已知得出x₁x₂=m²+m-2，|m²+m-2|=4，進而求出m的值，再利用根的判別式得出m的取值范圍，進而求出；
（3）分別利用點P₁到直線L的距離P₁Q₁為a，以及點P₂到直線L的距離P₂Q₂為b求出即可．

解答：解：（1）由拋物線y=-x²+2mx-m²-m+2=-（x-m）²-m+2，
得頂點坐標為（m，-m+2），顯然滿足y=-x+2
∴拋物線的頂點在直線L上．

（2）設M（x₁，0），N（x₂，0），且x₁＜x₂．
由OM•ON=4，OM≠ON，得|x₁•x₂|=4．
∵x₁x₂=m²+m-2，∴|m²+m-2|=4．
當m²+m-2=4時，m₁=2，m₂=-3
當m²+m-2=-4時，?△＜0，此方程無解，
∵△₁=（2m）²-4（m²+m-2）=-4m+8=-4m+8＞0．
∴m＜2．
故取m=-3．
則拋物線的解析式為y=-x²-6x-4．

（3）拋物線y=-x²-6x-4的對稱軸為x=-3，頂點（-3，5）．
依題意，∠CAB=∠ACB=45°．
若點P在x軸的上方，設P₁（-3，a）（a＞0），
則點P₁到直線L的距離P₁Q₁為a（如圖），
∴△CP₁Q₁是等腰直角三角形．
∴a+

2

a=5，a=5

2

-5．
∴P₁（-3，5

2

-5)．
若點P在x軸的下方，設P₂（-3，-b）（b＞0），
則點P₂到直線L的距離P₂Q₂為b（如圖），
同理可得△CP₂Q₂為等腰直角三角形，
∴b+5=

2

b，b=5

2

+5．
∴P₂（-3，-5

2

-5)．
∴滿足條件的點有兩個，
即（-3，5

2

-5）和（-3，-5

2

-5）．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)頂點坐標求法以及一元二次方程的解法和等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，注意分類討論思想的應用以及數(shù)形結(jié)合是解決問題的關(guān)鍵．