Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A、C、D的坐標(biāo)分別是（1，2）、（4，0）、（3，2），點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)．
小題1:求證：四邊形AOCD是等腰梯形；
小題2:動(dòng)點(diǎn)P、Q分別在線段OC和MC上運(yùn)動(dòng)，且保持∠MPQ=60°不變．設(shè)PC=x，MQ=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
小題3:在（2）中：試探究當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)O首次運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E（3，0）時(shí)，Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長．

Answer 1

小題1:見解析
小題2:
小題3:當(dāng)P點(diǎn)從O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E(3，0)時(shí)，Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長為個(gè)單位

(1)∵ y_A=y_B= ∴ AD//OC，
又線段AD、OC有共同對稱軸直線x=2，
∴OA=CD且AD≠OC
∴ 梯形AOCD是等腰梯形 …………………………… 4分

(2)易證△OMC是等邊三角形 所以O(shè)M=OC=MC=4
∠MDC=∠QCP=60°  又∠MPQ="60°"
∴∠1+∠2=∠1+∠3=120°
∴∠2=∠3  所以△OMP∽△CPQ 
∴ 
化為  …………………………… 8分
(3)∵0≤x≤4

∴ x=2時(shí)，y_min=3 即MQ=3
x=0時(shí)， y=4  即MQ=4
x=3時(shí)， y= 即MQ=
當(dāng)0≤x≤2時(shí)，Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑長為4-3=1
當(dāng)2<x≤3時(shí)，Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑長為
∴當(dāng)P點(diǎn)從O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E(3，0)時(shí)，
Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長為個(gè)單位